Точки M, N и К являются точками пересечения медиан боковых граней тетраэдра. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь основания тетраэдра равна 36 см².
DE, DF и DG - медианы. Значит EF, EG и FG - средние линии треугольника АВС и равны половинам соответственных сторон треугольника АВС. => треугольник EFG подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k = 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия =>
Sefg/Sabc =1/4. Sefg = (1/4)Sabc = 9cм².
Треугольники DEF и DMN, DFG и DNK, DEG и DMK подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны", так как DM/DE = DN/DF = DK/DG = 2/3 (свойство точки пересечения медиан, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины).
Следовательно, k = 2/3. =>
MN/EF = NK/FG = MK/EG = 2/3. =>
Треугольники MNK и EFG подобны по признаку : "Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны" с коэффициентом
По условию коэффициент подобия этих треугольников равен 5, поэтому B1C1=BC·5=11, угол C1=углу C=520; отношение треугольников равно квадрату коэффициента подобия; S/S1=1:25.
Замечание. Автору решения раньше никогда не попадались треугольники с такими большими углами, но мало ли что бывает в этой жизни. Гоголь тоже рассказывал про весьма забавные отклонения от нормы.
Замечание. Если автор задания поймет, что он имел в виду угол не в 520, а в 120 градусов, пусть всюду 520 заменит на 120.
Замечание. Если автор задания имел в виду не 520 градусов, а 520 каких-то других единиц измерения углов, возможно, придуманных самим автором задания, то автор решения возвращается к первоначальному варианту ответа.
Smnk = 4 см².
Объяснение:
Точки M, N и К являются точками пересечения медиан боковых граней тетраэдра. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь основания тетраэдра равна 36 см².
DE, DF и DG - медианы. Значит EF, EG и FG - средние линии треугольника АВС и равны половинам соответственных сторон треугольника АВС. => треугольник EFG подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k = 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия =>
Sefg/Sabc =1/4. Sefg = (1/4)Sabc = 9cм².
Треугольники DEF и DMN, DFG и DNK, DEG и DMK подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны", так как DM/DE = DN/DF = DK/DG = 2/3 (свойство точки пересечения медиан, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины).
Следовательно, k = 2/3. =>
MN/EF = NK/FG = MK/EG = 2/3. =>
Треугольники MNK и EFG подобны по признаку : "Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны" с коэффициентом
k1 = 2/3. =>
Smnk = (k1)²·Sefg = (4/9)·9 = 4 cм².
Замечание. Автору решения раньше никогда не попадались треугольники с такими большими углами, но мало ли что бывает в этой жизни. Гоголь тоже рассказывал про весьма забавные отклонения от нормы.
Замечание. Если автор задания поймет, что он имел в виду угол не в 520, а в 120 градусов, пусть всюду 520 заменит на 120.
Замечание. Если автор задания имел в виду не 520 градусов, а 520 каких-то других единиц измерения углов, возможно, придуманных самим автором задания, то автор решения возвращается к первоначальному варианту ответа.