BC — луч, который делит развёрнутый угол DBA на две части. Образуются два разных треугольника ABC и CBD. Нарисуй соответствующий рисунок. Вычисли ∢DBC, если ∢CBA=144°.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны, точка M - середина SB.
Найти косинус между АМ и BD.

Есть 2 метода решения этого задания:
1) геометрический,
2) векторный.

Примем 1 вариант. Длины рёбер примем за 1.
Перенесём отрезок АМ точкой А в точку Д.
Новую точку М соединим с вершиной основания В.
Получили треугольник ДМВ.
Находим длины сторон.
ДВ = √2 (как диагональ квадрата).
Высота пирамиды с диагональю √2 и боковыми рёбрами по 1 (это прямоугольный равнобедренный треугольник с острыми углами по 45 градусов) равна половине гипотенузы, то есть √2/2.
Так как точка М на середине ребра, то она по высоте отстоит от основания на √2/4.
ВМ = √((1+(1/4))²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(25+1+2)/16) = √28/4 = √7/2.
ДМ = √((3/4)²+(1/4)²+(√2/4)²) = √(9+1+2)/16) = √12/4 = √3/2.
Косинус угла Д находим по теореме косинусов.
cos D = ((√3/2)²+(√2)²-(√7/2)²)/(2*(√3/2)*(√2) =
          = ((3/4)+2-(7/4))/√6 = 1/√6 = √6/6 ≈  0,4082483.
Этому косинусу соответствует угол  1,150262 радиан или 65,905157°.

10. Площа трикутника дорівнює добутку радіусу r  вписаного кола і полупериметра р. 

r=(a+b-c):2 , де а та b -  катети,  c -гіпотенуза. 

a+b=P-с=60-c 

r=(60-c-c):2=30-c 

Також r=S:p; тоді

S=h*c:2

S=12*c:2=6c

р=60:2=30

r=6c/30=c/5 

Отже

c/5=30-c

150-5c=c

6c=150

c=25 см

r=25/5=5 см

S=r*p=5*30=150 см².
Відповідь: 150 см²

12. Нехай дано трикутник АВС - прямокутний, ∠ А - 90°, ВС - гіпотенуза. ВС=32+18=50 см.

АН - висота. 

Площа трикутника дорівнює 1\2 * ВС * АН.

АН=√(ВН*СН)=√(32*18)=√576=24 см.

S = 1\2 * 50 * 24 = 600 cм²

Відповідь: 600 см²