1) Строим данный угол и проводим биссектрису. От вершины биссектрисы откладываем диагональ АВ и делим ее пополам, точкой О. Проводим перпендикуляр через точку О к диагонали АВ, который пересекает стороны угла в точках С и D, которые являются вершинами искомого ромба. 2) Пусть дан угол а и диагональ d. Необходимо построить ромб, в котором один из углов равен а, а противолежащая диагональ равна d. Предположим, что существует ромб ABCD, в котором диагональ Диагональ АС — биссектриса Проведем через точку A прямую и отложим отрезки по разные стороны от точки А, следовательно, прямоугольник. Построим Проведем биссектрису AC угла BAD. Через точку А проведем прямую и от точки А отложим Проведем через прямые, параллельные АС, точки пересечения этих прямых со сторонами угла BAD обозначим соответственно В и D. Раствором циркуля, равным АВ, проведем дугу с центром В, при этом, точку пересечения дуги с прямой а обозначим С. Получим четырехугольник ABCD. Докажем, что ABCD — ромб в котором — по построению. Так как прямоугольник по построению, то отрезок АО — серединный перпендикуляр к BD и равнобедренный ОС серединный перпендикуляр в значит, — равнобедренный Так как по построению, то и ромб с По построению значит, искомый ромб.
Пусть радиус красной окружности R = x, тогда КМ = KC + CM = 21 + 42 = 63, KU = FU + KF = x + 21, MU = UE + ME = x + 42, UO = DO - DU = 63 - x
Применим теорему косинусов для ΔКМU:
KU² = KM² + UM² - 2•KM•UM•cos∠KMU
(x + 21)² = 63² + (x + 42)² - 2•63•(x + 42)•cos∠KMU
x² + 42x + 441 = 3969 + x² + 84x + 1764 - 126•(x + 42)•cos∠KMU
126•(x + 42)•cos∠KMU = 42x + 5292 ⇒ cos∠KMU = (x+126)/3(x+42)
Теперь ещё раз применим теорему косинусов уже для ΔUOM:
UO² = OM² + UM² - 2•OM•UM•cos∠OMU
(63 - x)² = 21² + (x + 42)² - 2•21•(x + 42)•cos∠OMU
x² - 126x + 3969 = 441 + x² + 84x + 1764 - 42•(x + 42)•cos∠OMU
42•(x + 42) = 210x - 1764 ⇒ cos∠OMU = (5x - 42)/(x + 42)
cos∠KMU = cos∠OMU ⇒ (x + 126)/3(x + 42) = (5x - 42)/(x + 42)
x + 126 = 3•(5x - 42) ⇔ 14x = 252 ⇔ R = x = 18 ⇒ D = 36
ответ: 36