3. вот тут есть кое-что интересное. Построение такое - проводим ВР II CD, Р лежит на MN. Проводим PK II BA, K лежит на AD. Ясно, что PN = BC; => MP = (AD - BC)/2 = AK;
Трапеция KPND равна трапеции MBCN, то есть её площадь составляет 3/5 площади AMNP. Площадь параллелограмма AMPK, соответственно, составляет 2/5 от площади AMNP. Поскольку у этих фигур общая высота, отношение их площадей равно отношению средних линий.
Обдумайте это внимательно - речь идет о средних линиях параллелограмма (а параллелограмм - частный случай трапеции :)) AMPK, равной АК = МР = (AD - BC)/2; и средней линии трапеции KPND, то есть - трапеции MBCN, равной ((AD + BC)/2 + BC)/2 = (AD/4 + 3*BC/4);
(Я вынужден сделать замечание. Условие MN = 10 я намеренно не использую, хотя отлично вижу, что тут можно было бы подставить это значение.)
В квадрате АВСD точка К - середина стороны ВС, точка М - серидина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и МД перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и МД) и АВК подобны. Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними. Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов. Рассмотрим треугольник DNO. Угол OND=CND, угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов. Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов. Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла. Найдем коэффициент подобия к=AD/OD=AM/ON=MD/ND т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM 2AM/OD=AM/ON, значит OD=2ON Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6 Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5 Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5 Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720 Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180 Площадь AMCD=720-180=540
1. AN = AB^2/AM = 3; MN = 2; => OB = 1;
=> угол BAO = 30 градусов; BH = AB*sin(30) = корень(3)/2;
2. О - центр правильного шестиугольника.
ОС = ОD = CD = OA; => OK = KD; => AK/KD = 3;
3. вот тут есть кое-что интересное. Построение такое - проводим ВР II CD, Р лежит на MN. Проводим PK II BA, K лежит на AD. Ясно, что PN = BC; => MP = (AD - BC)/2 = AK;
Трапеция KPND равна трапеции MBCN, то есть её площадь составляет 3/5 площади AMNP. Площадь параллелограмма AMPK, соответственно, составляет 2/5 от площади AMNP. Поскольку у этих фигур общая высота, отношение их площадей равно отношению средних линий.
Обдумайте это внимательно - речь идет о средних линиях параллелограмма (а параллелограмм - частный случай трапеции :)) AMPK, равной АК = МР = (AD - BC)/2; и средней линии трапеции KPND, то есть - трапеции MBCN, равной ((AD + BC)/2 + BC)/2 = (AD/4 + 3*BC/4);
(Я вынужден сделать замечание. Условие MN = 10 я намеренно не использую, хотя отлично вижу, что тут можно было бы подставить это значение.)
Итак, получилось (AD/2 + 3*BC/2)/(AD - BC) = 3/2; обозначим AD/BC = x;
(x/2 + 3/2)/(x - 1) = 3/2; x = 3;
Условие MN = 10 позволяет найти основания, равные 5 и 15.
Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними.
Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD
Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов.
Рассмотрим треугольник DNO.
Угол OND=CND,
угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов.
Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла.
Найдем коэффициент подобия к=AD/OD=AM/ON=MD/ND
т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM
2AM/OD=AM/ON, значит OD=2ON
Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6
Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5
Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5
Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720
Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ
площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180
Площадь AMCD=720-180=540