Биссектриса угла bad параллелограмма abcd пересекает сторону bc в точке n, а биссектрису dm (точка м лежит на стороне bc) угла adc в точке о, причём точка о лежит внутри параллелограмма abcd. периметр параллелограмма abcd равен 64 и dn: nc=7: 2. найдите длину отрезка mn
Проверим, лежит ли точка А(5,-3) на какой-либо заданной высоте. Подставим координаты этой точки в уравнения высот. Если равенство получим верное, то точка лежит на прямой.
Точка А(5,-3) не лежит ни на одной высоте. Для определённости, пусть высота BN имеет уравнение 2х-у-1=0, а высота СМ: 13х+4у-7=0.
BN⊥AC ⇒ направляющий вектор для АС равен нормальному вектору для BN: .
Точка А(5,-3)∈АС и уравнение АС имеет вид:
CM⊥AB ⇒ направляющий вектор для АВ равен нормальному вектору для CМ: .
Точка А(5,-3)∈АВ и уравнение АВ имеет вид:
Координаты точки В найдём как точку пересечения АВ и BN, а координаты точки С найдём как точку пересечения АС и CM .
S = ab·sinA
По теореме косинусов квадрат диагонали равен:
d² = a² + b² - 2ab·cosA
cosA = √1 - sin²A = √1 - 9/25 = 4/5
18 = a² + b² - 8/5ab (1)
3 = 3/5ab
ab = 5
Подставляем ab = 5 в (1) равенство
18 = a² + b² - 8/5·5
a² + b² - 8 = 18
a² + b² = 26
Выделим полный квадрат:
a² + 2ab + b² - 2ab = 26
(a + b)² - 2·5 = 26
(a + b)² = 36
a + b = 6
a·b = 5
По обратной теореме Виета:
a = 5, b = 1 или a = 1, b = 5
P = 2(a + b) = 2(5 + 1) = 12
ответ: 12.