Биссектриса угла прямоугольника мнпк делит сторону am пополам вычислите длины сторон прямоугольника если его периметр равен 84 дм

Показать ответ

Ответ:

BMW535

16.08.2020 21:14

ВД=3√2см

Объяснение:

У равнобедренных прямоугольных треугольников острые углы равны по 45°, поэтому ∠ВАС=∠ВСА=∠САД=∠АСД=45°. У треугольников АВС и АВД острые углы по 45° и общая гипотенуза АС=6см, значит треугольники равны по 4-му признаку – гипотенузе и острому углу, тогда АВ=ВС=АД=СД. При этом АС является основанием в обоих треугольниках. Проведём высоты ВК и ДК к гипотенузе АС. Так как треугольники равнобедренные, то высота, опущенная к основанию является ещё биссектрисой и медианой. Так как треугольники равны, то их медианы также будут равны. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе равна её половине, тогда ВК=ДК=АС÷2=6÷2=3см.

∆ВДК – прямоугольный, (по условию, так как плоскости треугольников перпендикулярны), где ВК и ДК – катеты, а ВД – гипотенуза. Найдём ВД по теореме Пифагора:

ВД²=ВК²+ДК²=3²+3²=9+9=18

ВД=√18=3√2см.

Можно найти другим . В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в √2 раз, тогда ВД=3√2см

Рівнобедрені прямокутні трикутники ABC i ADC мають спільну гіпотенузу AC завдовжки 6 см, а їхні площ

0,0(0 оценок)

Ответ:

Aryzhaн

08.06.2023 19:16

$\boxed{HK \approx 8,9}$

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, ∠BAD < 90°, AH ⊥ BC, AK ⊥ CD, AB = 5,

AC = 15, AH = 3

Найти: HK - ?

Решение: Так как по условию AH ⊥ BC, то угол ∠AHC = 90°, тогда для прямоугольного треугольника ΔAHB по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^{2} - AH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ . Также так как угол ∠AHC = 90°, то треугольник ΔAHC - прямоугольный. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHC. По теореме Пифагора: $HC = \sqrt{AC^{2} - AH^{2}} = \sqrt{15^{2} - 3^{2}} = \sqrt{225 - 9} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ .

По основному свойству отрезка: $HB + BC = HC \Longrightarrow BC = HC - HB = \sqrt{216} - 4$

По свойствам параллелограмма (ABCD) его противоположные стороны равны, тогда AB = CD = 5, $AD = BC = (\sqrt{216} - 4 )$ .

По формуле площади параллелограмма:

$\displaystyle \left \{ {{S_{ABCD} = AK \cdot CD} \atop {S_{ABCD} = AH \cdot BC}} \right \Longrightarrow AK \cdot CD = AH \cdot BC \Longrightarrow AK = \dfrac{AH \cdot BC}{CD} =$

$= \dfrac{3 \cdot (\sqrt{216} - 4)}{5} = \dfrac{3\sqrt{216} - 12}{5}$ . Рассмотрим треугольник прямоугольный (так как по условию AK ⊥ CD, то угол ∠AKC = 90°) треугольник ΔAKC. По теореме Пифагора: $CK = \sqrt{AC^{2} - AK^{2}} = \sqrt{15^{2} - \left (\dfrac{3\sqrt{216} - 12}{5} \right)^{2}}= \sqrt{225 - \dfrac{1944 - 432\sqrt{6} +144}{25} }=$ $= \sqrt{\dfrac{5625}{25} - \dfrac{1944 - 432\sqrt{6} +144}{25} }= \sqrt{ \dfrac{5625-1944 - 432\sqrt{6} +144}{25} } =$

$=\sqrt{ \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} }$ . По формуле площади параллелограмма:

$\displaystyle \left \{ {{S_{ABCD} = BC \cdot CD \cdot \sin \angle HCK} \atop {S_{ABCD} = AH \cdot BC}} \right \Longrightarrow BC \cdot CD \cdot \sin \angle HCK = AH \cdot BC \Longrightarrow$

$\sin \angle HCK = \dfrac{AH \cdot BC}{BC \cdot CD} = \dfrac{AH}{CD} = \dfrac{3}{5} = 0,6$ . По свойствам параллелограмма его противоположные углы равны, тогда ∠BAD = ∠BCD, так как по условию ∠BAD < 90°, то и угол ∠BCD < 90°, следовательно

cos ∠BCD > 0. По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} \angle HCK + \cos^{2} \angle HCK = 1 \Longrightarrow \cos \angle HCK = \sqrt{1 - \sin^{2} \angle HCK} =$

$= \sqrt{1 - (0,6)^{2}} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$ . По теореме косинусов для треугольника ΔHCK: $HK = \sqrt{HC^{2} + CK^{2} - 2 \cdot HC \cdot CK \cdot \cos \angle HCK} =$

$= \sqrt{(\sqrt{216} )^{2} + \left (\sqrt{ \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} } \right )^{2} - 2 \cdot \sqrt{216} \cdot \sqrt{ \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} }\cdot 0,8 } =$

$= \sqrt{216 + \dfrac{3825 - 432\sqrt{6} }{25} - 1,6 \cdot \sqrt{216} \cdot\dfrac{3\sqrt{425 - 48\sqrt{6} } }{5} } =$

$= \sqrt{ \dfrac{5400 + 3825 - 432\sqrt{6} }{25} - \dfrac{28,8\sqrt{6} \sqrt{425 - 48\sqrt{6} } }{5} } =$

$= \sqrt{ \dfrac{9225 - 432\sqrt{6} }{25} - \dfrac{28,8\sqrt{2550 - 288\sqrt{6} } }{5} } =$

$= \sqrt{ \dfrac{9225 - 432\sqrt{6} - 144\sqrt{2550 - 288\sqrt{6} }}{25} } = \dfrac{\sqrt{ 9225 - 432\sqrt{6} - 144\sqrt{2550 - 288\sqrt{6} } } }{5}$ $\approx 8,9$ .