в δ авс ∠асв = 90°. ас и вс — катеты, ав — гипотенуза.
cd — высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
ad — проекция катета ас на гипотенузу,
bd — проекция катета вс на гипотенузу.
высота cd делит треугольник авс на два подобных ему (и друг другу) треугольника: δ adc и δ cdb.
из пропорциональности сторон подобных δ adc и δ cdb следует:
ad : cd = cd : bd. отсюда cd2 = ad ∙ bd. говорят: высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.
из подобия δ adc и δ аcb следует:
ad : ac = ac : ab. отсюда ac2 = ab ∙ ad. говорят: каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.
аналогично, из подобия δ сdв и δ аcb следует:
bd : bc = bc : ab. отсюда bc2 = ab ∙ bd.
решите :
1. найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 25 см и 81 см.
a) 70 см; b) 55 см; c) 65 см; d) 45 см; e) 53 см.
2. высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36. определить длину этой высоты.
a) 22,5; b) 19; c) 9; d) 12; e) 18.
4. высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. найти проекцию другого катета.
a) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; d) 32; e) 32,25.
5. катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. найти гипотенузу.
a) 25; b) 24; c) 27; d) 26; e) 21.
6. гипотенуза равна 32. найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 2.
a) 8; b) 7; c) 6; d) 5; e) 4.
7. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 45. найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 9.
8. катет прямоугольного треугольника равен 30. найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.
a) 17; b) 16; c) 15; d) 14; e) 12.
10. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а проекция одного из катетов 16. найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.
a) 15; b) 18; c) 20; d) 16; e) 12.
a) 80; b) 72; c) 64; d) 81; e) 75.
12. разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. найти радиус описанной окружности.
a) 7,5; b) 8; c) 6,25; d) 8,5; e) 7.
сверить ответы!
последние тесты 6.3.06. умножение отрицательных чисел. примеры с десятичными дробями.6.3.04. сложение чисел с разными знаками. примеры с обыкновенными дробями.6.3.03. сложение чисел с разными знаками. примеры с десятичными дробями.6.3.02. сложение отрицательных чисел. примеры с обыкновенными дробями.6.3.01. сложение отрицательных чисел. примеры с десятичными дробями.архивы выберите месяц октябрь 2016 сентябрь 2016 апрель 2016 январь 2016 ноябрь 2015 октябрь 2015 март 2015 февраль 2015 декабрь 2014 октябрь 2014 сентябрь 2014 август 2014 июнь 2014 май 2014 апрель 2014 март 2014 февраль 2014 январь 2014 декабрь 2013 ноябрь 2013 октябрь 2013 сентябрь 2013 май 2013 апрель 2013 март 2013 февраль 2013 в видео.мой электронный адрес: [email protected] андрющенко татьяна яковлевнарубрики -10 (6)-11 (4)-7 (14)-8 (8)-9 (8)-10 (1)-11 (1)-7 (3)-8 (4)-9 (2)ент-2013 (20)ент-2014 (25)-5 (3)-6 (9)новости (13)огэ (6)
1. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-ух лучей исходящих из этой точки. острый - угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные - углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные - углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие - углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние - углы треугольника внутри односторонние - углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные - углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу 2. луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла 3. углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) 4. углы у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого угла. вертикальные углы всегда равны 5. прямая опущенная под прямым углом к плоскости(или другой прямой) Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. А если предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно 6. при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. равен сумме двух углов не смежных с ним. 7. отрезок биссектрисы одного из его углов до ее пересечения с противолежащей стороной треугольника. В треугольнике 3 биссектрисы 8. соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три . Свойства медиан треугольника Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. 9. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. треугольник имеет 3 высоты 11. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами 12. треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным. Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем: Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. 13. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине 14. I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. отрезок, соединяющий две точки данной кривой. отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r). 16. P=2πR 17. Окружностью называется плоская геометрическая фигура, точки которой равноудалены от данной точки, центра окружности. Кругом называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром круга. S=πR²
етрия. 8 класс. тест 4. вариант 1.
в δ авс ∠асв = 90°. ас и вс — катеты, ав — гипотенуза.
cd — высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
ad — проекция катета ас на гипотенузу,
bd — проекция катета вс на гипотенузу.
высота cd делит треугольник авс на два подобных ему (и друг другу) треугольника: δ adc и δ cdb.
из пропорциональности сторон подобных δ adc и δ cdb следует:
ad : cd = cd : bd. отсюда cd2 = ad ∙ bd. говорят: высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу.
из подобия δ adc и δ аcb следует:
ad : ac = ac : ab. отсюда ac2 = ab ∙ ad. говорят: каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.
аналогично, из подобия δ сdв и δ аcb следует:
bd : bc = bc : ab. отсюда bc2 = ab ∙ bd.
решите :
1. найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на отрезки 25 см и 81 см.
a) 70 см; b) 55 см; c) 65 см; d) 45 см; e) 53 см.
2. высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 9 и 36. определить длину этой высоты.
a) 22,5; b) 19; c) 9; d) 12; e) 18.
4. высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 22, проекция одного из катетов равна 16. найти проекцию другого катета.
a) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; d) 32; e) 32,25.
5. катет прямоугольного треугольника равен 18, а его проекция на гипотенузу 12. найти гипотенузу.
a) 25; b) 24; c) 27; d) 26; e) 21.
6. гипотенуза равна 32. найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 2.
a) 8; b) 7; c) 6; d) 5; e) 4.
7. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 45. найти катет, проекция которого на гипотенузу равна 9.
8. катет прямоугольного треугольника равен 30. найти расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, если радиус описанной около этого треугольника окружности равен 17.
a) 17; b) 16; c) 15; d) 14; e) 12.
10. гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41, а проекция одного из катетов 16. найти длину высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.
a) 15; b) 18; c) 20; d) 16; e) 12.
a) 80; b) 72; c) 64; d) 81; e) 75.
12. разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. найти радиус описанной окружности.
a) 7,5; b) 8; c) 6,25; d) 8,5; e) 7.
сверить ответы!
последние тесты 6.3.06. умножение отрицательных чисел. примеры с десятичными дробями.6.3.04. сложение чисел с разными знаками. примеры с обыкновенными дробями.6.3.03. сложение чисел с разными знаками. примеры с десятичными дробями.6.3.02. сложение отрицательных чисел. примеры с обыкновенными дробями.6.3.01. сложение отрицательных чисел. примеры с десятичными дробями.архивы выберите месяц октябрь 2016 сентябрь 2016 апрель 2016 январь 2016 ноябрь 2015 октябрь 2015 март 2015 февраль 2015 декабрь 2014 октябрь 2014 сентябрь 2014 август 2014 июнь 2014 май 2014 апрель 2014 март 2014 февраль 2014 январь 2014 декабрь 2013 ноябрь 2013 октябрь 2013 сентябрь 2013 май 2013 апрель 2013 март 2013 февраль 2013 в видео.мой электронный адрес: [email protected] андрющенко татьяна яковлевнарубрики -10 (6)-11 (4)-7 (14)-8 (8)-9 (8)-10 (1)-11 (1)-7 (3)-8 (4)-9 (2)ент-2013 (20)ент-2014 (25)-5 (3)-6 (9)новости (13)огэ (6)1. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-ух лучей исходящих из этой точки. острый - угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные - углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные - углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие - углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние - углы треугольника внутри односторонние - углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные - углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу 2. луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла 3. углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) 4. углы у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого угла. вертикальные углы всегда равны 5. прямая опущенная под прямым углом к плоскости(или другой прямой) Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. А если предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно 6. при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. равен сумме двух углов не смежных с ним. 7. отрезок биссектрисы одного из его углов до ее пересечения с противолежащей стороной треугольника. В треугольнике 3 биссектрисы 8. соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три . Свойства медиан треугольника Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. 9. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. треугольник имеет 3 высоты 11. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами 12. треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным. Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем: Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. 13. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине 14. I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. отрезок, соединяющий две точки данной кривой. отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r). 16. P=2πR 17. Окружностью называется плоская геометрическая фигура, точки которой равноудалены от данной точки, центра окружности. Кругом называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром круга. S=πR²