Боковые стороны трапеции равны 6 и 10. известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, а средняя линия делит её на части, площади которых относятся как 5: 11. найдите длину большего основания трапеции.

Пусть основания а и b

По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны(если неизвестно, откуда это - это следствие того, что касательные из одной точки к окружности равны). Поэтому 

a+b=16; (a+b)/2 = 8;

Средняя линяя дели трапецию на ДВЕ ТРАПЕЦИИ с равными высотами и основаниями a,8 и 8,b, то есть отношение их площадей равно отношению сумм оснований (ну, полусумм:) без разницы)

(b+8)/(a+8) = 5/11;

Раз нам надо ТОЛЬКО большее основние а, полагаем b = 16 - a, имеем

(24 - а)/(а + 8) = 5/11;

а = 14; 

а чему равно b, не скажу :)))