Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Двугранный угол при ребре основания равен arctg 2/3. Найти объём пирамиды.
Решение
1) Так как четырёхугольная пирамида SABCD (см. рисунок) правильная, то, согласно определению правильной пирамиды, в её основании лежит квадрат (ABCD), а основание высоты (SO) совпадает с центром пересечения диагоналей основания (в точке О).
2) Так как SO⊥плоскости основания ABCD, то SO⊥OC, лежащей в плоскости основания, в силу чего ОС является проекцией бокового ребра SC на плоскость основания, а ∠SCO, принадлежащий диагональному сечению пирамиды (проходит через диагональ АС основания пирамиды и её вершину), является градусной мерой двугранного угла при ребре основания, то есть ∠SCO = arctg 2/3 (угол, тангенс которого равен 2/3).
3) Диагонали квадрата ABCD в точке пересечения О делятся пополам. Следовательно:
24√2 см³
Объяснение:
Задание
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см. Двугранный угол при ребре основания равен arctg 2/3. Найти объём пирамиды.
Решение
1) Так как четырёхугольная пирамида SABCD (см. рисунок) правильная, то, согласно определению правильной пирамиды, в её основании лежит квадрат (ABCD), а основание высоты (SO) совпадает с центром пересечения диагоналей основания (в точке О).
2) Так как SO⊥плоскости основания ABCD, то SO⊥OC, лежащей в плоскости основания, в силу чего ОС является проекцией бокового ребра SC на плоскость основания, а ∠SCO, принадлежащий диагональному сечению пирамиды (проходит через диагональ АС основания пирамиды и её вершину), является градусной мерой двугранного угла при ребре основания, то есть ∠SCO = arctg 2/3 (угол, тангенс которого равен 2/3).
3) Диагонали квадрата ABCD в точке пересечения О делятся пополам. Следовательно:
ОС = AC/2 = √(АD²+DC²) / 2 = √(6²+6²) / 2 = (√72)/2 =√(36·2)/2 =
= (6√2) /2 = 3√2 см
4) В прямоугольном ΔSOC стороны SO (высота пирамиды) и ОС (проекция бокового ребра на плоскость основания) являются катетами.
Катет равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего этому катету.
SO = OC · tg (arctg 2/3) = OC · 2/3 =3√2 · 2/3 = 2√2 см
5) Объём пирамида равен произведению 1/3 площади основания на высоту:
V = 6²· 2√2 : 3 = 12· 2√2 = 24√2 см³ ≈ 24 · 1,4142 ≈ 33,94 см³
ответ: объём пирамиды равен 24√2 см³ ≈ 33,94 см³
75 π см²
Объяснение:
Задание
Развёрткой конуса является полукруг диаметром 20 см. Найти площадь полной поверхности конуса.
Решение
1) Площадь полной поверхности конуса равна:
S = S бок + S осн = πRL + πR²,
где R - радиус основания;
L - длина образующей;
S бок = πRL - площадь боковой поверхности конуса;
S осн = πR² - площадь основания.
2) Так как развёрткой конуса является полукруг диаметром 20 см, то это значит, что:
a) площадь боковой поверхности конуса равна 1/2 площади круга диаметром 20 см:
S бок = π · (20/2)² /2 = π · 10²/2 = 100π/2 = 50 π см²
b) длина окружности основания равна 1/2 длины окружности диаметром 20 см:
С = (2π · 20) / 2 = 10 π см
с) радиус основания R равен:
R = C / 2π = 10π / 2π = 5 см;
d) площадь основания конуса:
S осн = πR² = π · 5² = 25 π см²;
3) Проверка расчета площади боковой поверхности: так как длина образующей L равна 1/2 диаметра развертки, то:
S бок = πRL = π · 5 · (20/2) = 50π см², что соответствует ранее выполненному расчету (см. п. 2а).
4) Площадь полной поверхности конуса:
S = S бок + S осн = 50π + 25 π = 75 π см² ≈ 75 · 3,14159 ≈ 235,62 см²
ответ: площадь полной поверхности конуса равна 75 π см².