Задача 1) Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся как 3:8. Найдите эти стороны. Примем коэффициент отношения сторон х. Тогда АВ=3х, АС=8х По т. косинусов ВС²=АВ²+АС² - 2*АВ*АС*cos(60°) 441=9х²+64х²-2*24х²*1/2 49х²=441 х²=9 х=3 АВ=3*3=9 АС=3*8=24
Задача 2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ос сторонами 5 и 8 и углом между ними 60° Пусть дан треугольник АВС. По условию АВ=5, АС=8, угол ВАС=60° R=abc:4S Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно найти третью сторону треугольника. По т.косинусов ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС*cos(60°) ВС²=25+64-80*1/2ВС²=49 ВС=7 S(АВС)=АВ*АС*sin(60):2=(5*8*√3/)4= 10√3 R=5*8*7:(4*10√3)=7/√3
Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.
Примем коэффициент отношения сторон х.
Тогда АВ=3х, АС=8х
По т. косинусов ВС²=АВ²+АС² - 2*АВ*АС*cos(60°)
441=9х²+64х²-2*24х²*1/2
49х²=441
х²=9
х=3
АВ=3*3=9
АС=3*8=24
Задача 2)
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ос сторонами 5 и 8 и углом между ними 60°
Пусть дан треугольник АВС.
По условию АВ=5, АС=8, угол ВАС=60°
R=abc:4S
Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно найти третью сторону треугольника. По т.косинусов
ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС*cos(60°)
ВС²=25+64-80*1/2ВС²=49
ВС=7
S(АВС)=АВ*АС*sin(60):2=(5*8*√3/)4= 10√3
R=5*8*7:(4*10√3)=7/√3
Sabc = Sabd + Sadc = 3√35 + √35 = 4√35
У обоих треугольников общая высота, опущенная на сторону ВС, обозначим её h.
Sabd = 0.5BD · h = 3√35 → BD = 6√35 : h
Sadc = 0.5CD · h = √35 → CD = 2√35 : h
BD : CD = 3
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилкжащим сторонам: BD/AB = CD/AC
BD · AC = CD · AB → BD : CD = AB : AC → AB = 3AC
Обозначим для простоты преобразований АС = х, Тогда АВ=ВС= 3х
По формуле Герона: Sabc = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))
Полупериметр р = 0,5(3х + 3х + х )= 7х/2; р - АВ = р - АС = 3,5х - 3х = х/2;
р - АС = 3,5х - х = 5х/2
Sabc = √(7x/2 · x/2 · x/2 · 5x/2) = x²/4 · √35
4√35 = x²/4 · √35 → x² = 16 → x = 4
ответ: АС = 4