. Буду очень сильно благодарен Вариант
1. На рисунке 3 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей A1BC и ABB1.

2. Даны точки M, N и K такие, что MN = 23 см, MK = 14 см,
NK = 13 см. Сколько плоскостей можно провести через точки M, N и K? ответ обоснуйте.

3. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Плоскость α проходит через точки B, D и E. Докажите, что прямая AC лежит в плоскости α.

4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 4). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.

5. Постройте сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки M, K и N, принадлежащие соответственно рёбрам AB, BC и CC1, причём прямые MK и AC не параллельны.

Пусть расстояние от вершины одного острого угла до точки касания равно х
Тогда один катет равен
х+2
Второй
17-х-2
Гипотенуза равна сумме отрезков от острых углов треугольника до точек касания с окружностью по свойству касательных из одной точки к окружности.
х+ 17-х-2-2=13cм
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
(17 -х)²+х²=13²
289-34х+х²+х²=169
2х²-34х +120=0
D = b² - 4ac = 196
х1=5 см
х2=12 см
Один катет равен 5, второй 12
Площадь равна половине произведения катетов и равна
5*12:2=30 см²

Проверка

5²+12²=169

169=169

√169=13

Даны точки: A(7; 4; 2),  B(-5; 3; -9), C(1; -5; 3), D(7; -9; 1).

Находим векторы AB и AD .

AB = (-12; -1; -11).

AD = (0; -13; -1).

Определяем их векторное произведение.

ABxAD = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx} =

= (-1*-1 - -11*-13), (-11-*0 - -12*-1), (-12*-12 - -1*0) = (-142; -12; 156).

Площадь грани ABD равна (1/2)*√((-142)² + (-12)² + 156²) = (1/2)√44644 =

= √11161 ≈ 105,6456 кв.ед.

Находим вектор АС = (-6; -9; 1).

Объём пирамиды ABCD равен (1/6)*(ABxAD)*АС) = (1/6)*(852 + 108 + 156) =

= (1/6)*1116 = 186 куб.ед.

Находим координаты точки Е как середину ребра BD.

Е = (1; -3; -4).

Находим длины отрезков АЕ и СЕ.

AE = 36 49 36 = √121  =11

CE = 0 4 49 =√53 ≈ 7,28011.

Сторона основания АС = √(6²  + (-8)² +  12²) =√244 ≈ 15,6205.

Площадь сечения (это треугольник АСЕ) определяем по формуле Герона, так как имеем длины трёх сторон.

Треугольник АEС      

a(CE)   e(АС) c(АE) p     2p           S

7,2801 10,8628 11,0 14,5714 29,14289 37,5133

cos A = 0,7783 cos Е = 0,3496 cos С = 0,31613

Аrad = 0,6788 Еrad = 1,2136 Сrad = 1,24915

Аgr = 38,894 Еgr = 69,5344 Сgr = 71,571

Число 37,5133 примерно равно  √5629/2.