Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба, а радиус, естественно, половине этой высоты. Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле r=S:рS — площадь ромба, где p — его полупериметр (p=2a, где a — сторона ромба) .Как известно, одна из формул площади ромба: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. S=d*D:2 Одна диагональ дана в условии, она равна 60 cм. Точкой пересечения диагонали ромба делятся пополам и образуют прямоугольные треугольники с гипотенузой 50 см, одним катетом 30см, второй предстоит найти. Сделать это можно по т.Пифагора, но получился египетский треугольник с отношением сторон 3:4:5. Отсюда ясно, что второй катет равен 40 см, и вся диагональ равна 40*2=80 см Площадь ромба d*D:2=60*80:2=240 см² r=S:р=240:(50*2)=24 см
Ну, много, но задача эта совсем не сложная. Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны. Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC). То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях. Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так. А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD. Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1. Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать. Пусть a = √30; α = arccos(3/4); Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2); BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC; точно так же для треугольника BEB1 EH = BH*tg(60°) = x*√3; 2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат, 4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или 3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить. 3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) = = a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); = (подставляем числа) = 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8; R^2 = 520/8 = 65;
а радиус, естественно, половине этой высоты.
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле
r=S:рS — площадь ромба, где p — его полупериметр
(p=2a, где a — сторона ромба)
.Как известно, одна из формул площади ромба:
площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=d*D:2
Одна диагональ дана в условии, она равна 60 cм.
Точкой пересечения диагонали ромба делятся пополам и образуют прямоугольные треугольники с гипотенузой 50 см, одним катетом 30см, второй предстоит найти.
Сделать это можно по т.Пифагора, но получился египетский треугольник с отношением сторон 3:4:5.
Отсюда ясно, что второй катет равен 40 см,
и вся диагональ равна 40*2=80 см
Площадь ромба
d*D:2=60*80:2=240 см²
r=S:р=240:(50*2)=24 см
Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны.
Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC).
То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях.
Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так.
А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD.
Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1.
Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать.
Пусть a = √30; α = arccos(3/4);
Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2);
BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC;
точно так же для треугольника BEB1
EH = BH*tg(60°) = x*√3;
2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат,
4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или
3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить.
3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) =
= a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); =
(подставляем числа)
= 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8;
R^2 = 520/8 = 65;