Найти длину окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 3 см.
Решение.
1) В правильном шестиугольнике центральные углы равны:
360 : 6 = 60°. А так как боковые стороны каждого из 6 треугольников, на которые можно разбить шестиугольник, равны между собой, то и углы при основании также равны 60°. А это значит, что все 6 треугольников - равносторонние, при этом длина стороны, согласно условию, равна 3 см.
2) Найти радиус вписанной в шестиугольник окружности - значит найти высоты равностороннего треугольника со стороной 3 см, так как вписанная в шестиугольник окружность касается оснований всех 6 треугольников в точках оснований перпендикуляров, опущенных из центра окружности на стороны шестиугольника.
3) Высота правильного треугольника одновременно является и его медианой, то есть делит сторону треугольника на 2 равных отрезка длиной: 3 :2 = 1,5 см.
4) По теореме Пифагора находим высоту треугольника, являющегося радиусом вписанной окружности:
9,42√3 см ≈ 16,32 см
Объяснение:
Задание.
Найти длину окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 3 см.
Решение.
1) В правильном шестиугольнике центральные углы равны:
360 : 6 = 60°. А так как боковые стороны каждого из 6 треугольников, на которые можно разбить шестиугольник, равны между собой, то и углы при основании также равны 60°. А это значит, что все 6 треугольников - равносторонние, при этом длина стороны, согласно условию, равна 3 см.
2) Найти радиус вписанной в шестиугольник окружности - значит найти высоты равностороннего треугольника со стороной 3 см, так как вписанная в шестиугольник окружность касается оснований всех 6 треугольников в точках оснований перпендикуляров, опущенных из центра окружности на стороны шестиугольника.
3) Высота правильного треугольника одновременно является и его медианой, то есть делит сторону треугольника на 2 равных отрезка длиной: 3 :2 = 1,5 см.
4) По теореме Пифагора находим высоту треугольника, являющегося радиусом вписанной окружности:
R = √(3² - 1,5²) = √(9-2,25) = √6,75 = √2,25 · 3 = 1,5 √3.
5) Длина окружности L равна произведению диаметра окружности D на число π:
L = π · D = π · 2R = 3,14 · 2 · 1,5 √3 = 9,42√3 ≈ 9,42 · 1,732 = 16,32 см
ответ: 9,42√3 см ≈ 16,32 см
Нарисуем трапецию АВСД.
Проведем линию КМ, соединяющую середины оснований.
ВК=КС=6:2=3
АМ=МД=11:2=5,5
Опустим высоту КН, для того, чтобы из треугольника КНМ найти затем КМ.
Проведем КЕ параллельно АВ и КТ параллельно СД.
АЕ=ВК=ТД=КС=3
КЕ=ВА=3
КТ=СД=4
ЕТ=АД-АЕ-ТД=11-3-3=5
Получен треугольник КЕТ со сторонами 3,4,5.
Найдем площадь треугольника КЕТ по форуле Герона.
Вычисления приводить не буду, не в них смысл данного решения.
S КЕТ=6
Высоту КН треугольника КЕТ найдем из площади треугольника . S(КЕТ)=ЕТ*КН:2
КН=2S:ЕТ=12:5=2,4
По т. Пифагора из прямоугольного треугольника КНТ найдем НТ.
НТ равна 3,2 ( опять же не привожу вычисления - можно проверить).
НМ=НД-МД
МД=5,5 по условию.
НД=ТД+НТ=3+3,2=6,2
НМ=6,2-5,5=0,7
КМ найдем по т. Пифагора:
КМ²=КН²+МН²=2,4²+0,7²=6,25
КМ=√6,25=2,5 см
Объяснение: