Центральный угол аос и вписанный угол авс опираются на одну и ту же дугу. если центральный угол аос равна 120. найдите градусную меру дуг вписанного угла аbc
1757 жылдан Глазгодағы университетте механик болып жұмыс істеді. Онда ол Д.Папен (1647 – 1714) қазанын пайдаланып қаныққан бу температурасының қысымға тәуелділігін зерттеді. 1763 – 64 жылы Т.Ньюкоменнің (1663 – 1729) бу машинасының моделін кемелдендіре отырып, бу шығынын конденсаторды цилиндрден оқшаулау арқылы азайтуға болатындығын дәлелдеді. Осы идеяны басшылыққа ала отырып 1765 жылы тәжірибелік, ал 1768 жылы ең алғашқы бу машинасын құрастырды. Бұл бу машинасы Ньюкоменнің машиналарына қарағанда едәуір тиімді болды.
Т.к. ∠AMB=∠BMC=∠CMA=360/3=120 , то значит точка М - точка Торричелли (точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°). 1) Eсли построить на стороне BC треугольника ABC внешним образом правильный треугольник A1BC, то точка М будет лежать на окружности, описанной около треугольника A1BC (∠BMC=120, ∠BА1C=60), с радиусом R1=BC/√3=9/√3. Эта же окружность описана и около треугольника МВС, значит можно найти его площадь Smbc=MB*MC*BC/4R1=MB*MC*√3/4. 2) точно так же строим на стороне АС равносторонний треугольник АВ1С, для него R2=AC/√3=4/√3, Smac=MA*MC*AC/4R2=MA*MC*√3/4. 3) aналогично на стороне АВ построим треугольник АС1В, для него R3=AB/√3=6/√3, Smab=MA*MB*AB/4R3=МА*МВ*√3/4. 4) площадь треугольника АВС находим по ф.Герона Sabc=√р(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)=√9,5*3,5*0,5*5,5=0,25√1463, где полупериметр р=(АВ+ВС+АС)/2=(9+4+6)/2=9,5. 5) Tакже площадь Sabc=Smbc+Smac+Smab, подставим: 0,25√1463=√3/4*(MB*MC+MA*MC+MA*MB), значит MB*MC+MA*MC+MA*MB=0,25√1463:√3/4=√1463/3. 6) Теперь применим теорему косинусов: - для треугольника МВС ВС²=МС²+МВ²-2МС*МВ*соs 120. cos 120=-1/2 81=МС²+МВ²+МС*МВ - для треугольника МАС АС²=МС²+МА²-2МС*МА*соs 120. 16=МС²+МА²+МС*МА - для треугольника МАВ АВ²=МА²+МВ²-2МА*МВ*соs 120. 36=МА²+МВ²+МА*МВ 7) если все 3 выражения сложить, получится 81+16+36=МС²+МВ²+МС*МВ+МС²+МА²+МС*МА+МА²+МВ²+МА*МВ 133=2(МС²+МА²+МВ²)+(МС*МВ+МС*МА+МА*МВ) 133=2(МС²+МА²+МВ²)+√1463/3 МС²+МА²+МВ²=(133-√1463/3)/2≈(133-22,08)/2=55,46≈55
Відповідь:
1757 жылдан Глазгодағы университетте механик болып жұмыс істеді. Онда ол Д.Папен (1647 – 1714) қазанын пайдаланып қаныққан бу температурасының қысымға тәуелділігін зерттеді. 1763 – 64 жылы Т.Ньюкоменнің (1663 – 1729) бу машинасының моделін кемелдендіре отырып, бу шығынын конденсаторды цилиндрден оқшаулау арқылы азайтуға болатындығын дәлелдеді. Осы идеяны басшылыққа ала отырып 1765 жылы тәжірибелік, ал 1768 жылы ең алғашқы бу машинасын құрастырды. Бұл бу машинасы Ньюкоменнің машиналарына қарағанда едәуір тиімді болды.
Пояснення:
1) Eсли построить на стороне BC треугольника ABC внешним образом правильный треугольник A1BC, то точка М будет лежать на окружности, описанной около треугольника A1BC (∠BMC=120, ∠BА1C=60), с радиусом R1=BC/√3=9/√3.
Эта же окружность описана и около треугольника МВС, значит можно найти его площадь Smbc=MB*MC*BC/4R1=MB*MC*√3/4.
2) точно так же строим на стороне АС равносторонний треугольник АВ1С, для него R2=AC/√3=4/√3, Smac=MA*MC*AC/4R2=MA*MC*√3/4.
3) aналогично на стороне АВ построим треугольник АС1В, для него
R3=AB/√3=6/√3, Smab=MA*MB*AB/4R3=МА*МВ*√3/4.
4) площадь треугольника АВС находим по ф.Герона
Sabc=√р(р-АВ)(р-ВС)(р-АС)=√9,5*3,5*0,5*5,5=0,25√1463, где полупериметр р=(АВ+ВС+АС)/2=(9+4+6)/2=9,5.
5) Tакже площадь Sabc=Smbc+Smac+Smab, подставим:
0,25√1463=√3/4*(MB*MC+MA*MC+MA*MB), значит
MB*MC+MA*MC+MA*MB=0,25√1463:√3/4=√1463/3.
6) Теперь применим теорему косинусов:
- для треугольника МВС
ВС²=МС²+МВ²-2МС*МВ*соs 120. cos 120=-1/2
81=МС²+МВ²+МС*МВ
- для треугольника МАС
АС²=МС²+МА²-2МС*МА*соs 120.
16=МС²+МА²+МС*МА
- для треугольника МАВ
АВ²=МА²+МВ²-2МА*МВ*соs 120.
36=МА²+МВ²+МА*МВ
7) если все 3 выражения сложить, получится
81+16+36=МС²+МВ²+МС*МВ+МС²+МА²+МС*МА+МА²+МВ²+МА*МВ
133=2(МС²+МА²+МВ²)+(МС*МВ+МС*МА+МА*МВ)
133=2(МС²+МА²+МВ²)+√1463/3
МС²+МА²+МВ²=(133-√1463/3)/2≈(133-22,08)/2=55,46≈55