Часть А.
l. B трапеции ABCD DM = 12, MB = 6, АB = 8. Найдите CD.
1) 4; 2) 10; 3) 24; 4) 16.
2. Внутренний угол треугольника равен 135°, а один из внешних его углов – 170°. Найдите острый угол треугольника, не смежный с данным внешним.
1) 10°; 2) 35°; 3) 45°; 4) 65°.
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если ВК = 6.
1) 12; 2) 4;
3) 3; 4) 6.
4. В треугольнике МРТ РТ = 12, МТ = 8, sin ÐM = .
Найдите угол Р.
1) 150°; 2) 120°; 3) 60°; 4) 30°.
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника АВС, если СН = 13 м.
1) 126 м2; 2) 78 м2;
3) 63 м2; 4) 60 м2.
6. Окружность с центром Р и прямая КТ касаются в точке К. Найдите РТ, если ТК = 12, а диаметр окружности – 10.
1) 12; 2) 5; 3) 13; 4) 7.
7. Точка О – центр окружности радиусом 5. Найдите ВС.
1) 5; 2) 5; 3) 10; 4) 7,5.
8. В четырехугольнике ABCD ÐCBD = 35°, ÐBAC = 45°. Найдите угол BAD.
1) 80°; 2) 100°; 3) 135°; 4) 90°.
9. Сторона квадрата равна 6 м. Найдите площадь вписанного в него круга.
1) 36p м2; 2) 12p м2; 3) 9p м2; 4) 18p м2.
10. Какая из следующих фигур имеет центр симметрии?
1) равнобокая 2) правильный 3) правильный 4) паралле-
трапеция треугольник пятиугольник лограмм
11. Точки М и К – середины сторон правильного треугольника ABC. Укажите вектор, равный вектору :
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
12. КСТР – ромб. Найдите сумму векторов
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Часть В.
1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 9. Найдите периметр треугольника.
2. Отрезок ВК – биссектриса треугольника ABC, AB = BM, ÐAKB = 50". Найдите угол СКМ.
3. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О, ÐСDО = 60°, АС = 10. Найдите периметр треугольника ОСD.
4. Основания равнобокой трапеции равны 14 м и 8 м, а один из углов равен 45°. Найдите площадь трапеции.
5. В параллелограмме ABCD BD = 17 м. Найдите плошадь параллелограмма, если СН = 2 м и ВН = 15 м.
Часть С.
1. Стороны параллелограмма равны 7 и 6. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длину большей из этих частей.
2. В треугольнике ABC АВ = ВС = 10, АС = 8. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны АВ в точке М. Найдите ВМ.
3. Отрезок АО – биссектриса треугольника АВС. АС = 16, ВС = 20. Найдите ОС, если ÐВАС = 2ÐАВ
Часть А.
1. В трапеции ABCD DM = 12, MB = 6, AB = 8. Найдите CD.
Для нахождения CD нам необходимо использовать свойства трапеции. Мы знаем, что боковые стороны трапеции параллельны и что основания трапеции (AB и CD) должны быть параллельны. Также нам дано, что DM = 12 и MB = 6.
Мы можем применить теорему Талеса, которая говорит о том, что если на двух параллельных прямых (в нашем случае это основания трапеции) проведены отрезки (в нашем случае это DB и MC), пересекающие третью прямую (в нашем случае это прямая DM), то отношение длин этих отрезков равно отношению длин отрезков, на которые третья прямая делит основания.
Мы можем записать это в виде уравнения:
DM/MB = CD/AB
Подставим значения, которые нам даны:
12/6 = CD/8
Упростим уравнение:
2 = CD/8
Перемножим обе части уравнения на 8:
16 = CD
Ответ: CD = 16.
2. Внутренний угол треугольника равен 135°, а один из внешних его углов – 170°. Найдите острый угол треугольника, не смежный с данным внешним.
Для решения этого вопроса нам необходимо использовать свойства треугольника.
Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180°. Поэтому мы можем вычислить второй внутренний угол треугольника:
180° – 135° = 45°.
Теперь нам известны два внутренних угла треугольника: 135° и 45°. Острук угол треугольника, не смежный с данным внешним углом, равен сумме двух внутренних углов минус 180°:
135° + 45° - 180° = 180° - 180° = 0°.
Ответ: острый угол треугольника, не смежный с данным внешним, равен 0°.
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если ВК = 6.
К сожалению, нам не даны данные, указанные на рисунке, поэтому мы не можем найти АС. Нам не хватает дополнительной информации.
4. В треугольнике МРТ РТ = 12, МТ = 8, sin ÐM = . Найдите угол Р.
Для нахождения угла Р мы можем использовать формулу синуса:
sin Ð = Противолежащая сторона / Гипотенуза
Мы знаем, что МР = 12, МТ = 8 и sin ÐM = .
Подставим значения в формулу:
sin ÐM = МР / МТ
= 12 / 8
= 1.5
Теперь нам нужно найти угол Р, поэтому мы возьмем обратный синус от 1.5:
Р = sin^(-1)(1.5)
Р примерно равен 90°.
Ответ: угол Р примерно равен 90°.
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь треугольника АВС, если СН = 13 м.
К сожалению, нам не даны данные, указанные на рисунке, поэтому мы не можем найти площадь треугольника АВС. Нам не хватает дополнительной информации.
6. Окружность с центром Р и прямая КТ касаются в точке К. Найдите РТ, если ТК = 12, а диаметр окружности – 10.
Чтобы найти РТ, нам необходимо использовать свойства касательных окружности.
Первое свойство гласит, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, является перпендикуляром к радиусу, проведенному в эту точку. В нашем случае это отрезок ТК.
Второе свойство гласит, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину. Мы знаем, что диаметр окружности равен 10, а значит, радиус окружности равен половине диаметра:
Радиус = 10 / 2 = 5.
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник РТК с гипотенузой РТ и катетом ТК. Мы знаем, что катет ТК равен 12 и радиус РТ равен 5.
Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу РТ:
РТ^2 = ТК^2 + РК^2
РТ^2 = 12^2 + 5^2
РТ^2 = 144 + 25
РТ^2 = 169
РТ = √169
РТ = 13.
Ответ: РТ = 13.
7. Точка О – центр окружности радиусом 5. Найдите ВС.
Чтобы найти ВС, нам необходимо знать отношение радиуса окружности к стороне треугольника.
Мы знаем, что радиус окружности равен 5. Для правильного треугольника отношение радиуса к стороне равно √3 / 3.
Подставим значения:
ВС = 5 * (√3 / 3)
Упростим выражение:
ВС = 5√3 / 3.
Ответ: ВС = 5√3 / 3.
8. В четырехугольнике ABCD ÐCBD = 35°, ÐBAC = 45°. Найдите угол BAD.
Чтобы найти угол BAD, нам нужно использовать свойства треугольника и четырехугольника.
Мы знаем, что сумма всех углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике ABC углы BAC и BCA уже известны – они равны 45° и 35° соответственно.
Угол CAB равен:
180° - 45° - 35° = 100°.
В четырехугольнике ABCD сумма всех углов равна 360°. У нас есть уже известные углы: ÐCBD = 35°, ÐBAC = 45° и ÐCAB = 100°.
Угол BDA равен:
360° - 35° - 45° - 100° = 180°.
Ответ: угол BAD равен 180°.
9. Сторона квадрата равна 6 м. Найдите площадь вписанного в него круга.
Чтобы найти площадь вписанного круга, нам необходимо знать радиус этого круга.
Мы знаем, что круг вписан в квадрат, то есть его центр совпадает с центром квадрата и радиус равен половине стороны квадрата.
Мы также знаем, что сторона квадрата равна 6 м.
Радиус вписанного круга = сторона квадрата / 2 = 6 м / 2 = 3 м.
Теперь мы можем найти площадь круга, используя формулу:
Площадь круга = π * радиус^2
= π * 3^2
= 9π.
Ответ: площадь вписанного в квадрат круга равна 9π.
10. Какая из следующих фигур имеет центр симметрии?
Центр симметрии есть у фигуры, которая выглядит так же влево, как и вправо.
Однако в вопросе нет указания на какую именно фигуру задан вопрос. Поэтому нам не даны данные для ответа на этот вопрос.
11. Точки М и К – середины сторон правильного треугольника ABC. Укажите вектор, равный вектору :
К сожалению, вопрос не содержит всей информации, необходимой для получения ответа. Нам необходимо знать значения векторов и вектора , чтобы определить равен ли один вектор