Частина 1. У завданнях і позначте одну правильну, на вашу думку, відповідь. 1. Укажіть, у якому пипалку точки A, B і м лежать на одній прямі іt.
Б
AB - 5 см, ,
AB 27 см,
AB 7 см,
ВАМ - 12 см,
ВМ - 15 см,
BM 23 см,
- ) см
AM
15 см
AM - 16 CM
АВ 8 см,
BM
AM - 16 см
с
AM
2. Знайдіть градусну міру кута 1, зображеного на рисунку,
112
78
105
102
75
68 см. Яка довжина
3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 28 см, а периметр
його бічної сторони?
Б
B
Г
30 см
СА
20 см
40 см
6 см
4. У трикутнику АВС відомо, що 2B - 59°, 2C 72". Укажіть правильну нерівність.
B
ABBC
ВС «АС
AC BC
AB AC
Частина 2. Завдання 5, 6 виконайте на чернеттці та запишіть тільки відповідь.
5. Градусні міри двох суміжних кутів відносяться як 7; 11. Яка градусна міра ментного
з цих кутів?
F
Відповідь:
C) 60
6. Відрізок ЕС бісектриса трикутника DEF, зображеного
на рисунку. Яка градусна міра кута DEF?
42
Відповідь:
Частина 3. У завданнях 7, 8 наведіть повне розв'язання (за потреби користуйтеся чернеткою).
7. На основі AC рівнобедреного трикутника ABC позначено точки Miк такі, що AM
точка Млежить між точками А і К. Доведіть, що 2 ABM ZCBK.
СЕ
8. Доведіть рівність відрізків ВO iOD, зображених на рисунку, якщо AB - CD і AB CD.
B В
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
ответ: KD=10см.
Около тр-ка АВС опишем окружность.
АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов.
Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К.
∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2.
∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине.
Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный.
КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности.
Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают.
О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности.
Доказано.