Через пересекающиеся прямые ав и вс, угол между которыми равен 60°, проведена плоскость α. через точку а параллельно прямой вс проведена плоскость β. угол между прямой ав и плоскостью β равен 30°. найти угол между плоскостями α и β, если ав=5/√3.

Вопрос задачи - найти величину двугранного угла. 
   Двугранный угол измеряется величиной его линейного угла.  
На рисунке  это угол между  перпендикулярами АР и АМ, возведенными из точки А к линии пересечения плоскостей, т.е. к ребру  КН этого угла. 
   Угол между прямой АВ и плоскостью  β - это угол  ВАН, т.е. угол между ВА и ее проекцией АН  на плоскость β. 
ВН ⊥ плоскости  β, следовательно, ⊥ и прямой НМ, проведенной параллельно КН. 
  Треугольник АВН - прямоугольный, угол НВА= 90º-30º=60º. 
ВН=АВ*sin 30º=(5:√3)*1/2=(5:√3)/2
   Если плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости  β, и пересекает эту плоскость по прямой b, то  b || a.  
  ВС параллельна плоскости β, которая пересекает плоскость α по прямой КН ⇒
 ВС и КН - параллельны. 
АР - общий перпендикуляр к ВС и КН, ⇒ треугольник АРВ - прямоугольный. АР=АВ*sin 60º=(5:√3)*√3):2=5/2 
Из Р опустим перпендикуляр  РМ на плоскость β  
РМ || ВН ⇒ РМ=ВН =(5:√3)/2 
Треугольник РАМ - прямоугольный. 
АМ - проекция АР на плоскость  β , АР⊥КН.
По т. о трех перпендикулярах  АМ  ⊥ КН, ⇒ 
∠ РАМ - линейный угол  двугранного угла между  плоскостями  α и  β. 
sin ∠РАМ = РМ:АР={(5:√3)/2 }:5/2=1/√3 =0,57735 ≈ 0,5774 
По таблицам Брадиса это синус угла 35º16'