Через середину гипотенузы ab прямоугольного треугольника abc проведена прямая, пересекающая катет ac в точке d, а продолжение катета bc в точке f. известно, что ad=2, bf=3 и ac=2bc. найти стороны треугольника abc.
Пусть K – середина гипотенузы AB . Обозначим AK=KB=x , <ABC = α . Через точку D параллельной BC проведём прямую до пересечения с отрезком AB в точке P . Тогда < APD = <ABC = α, tg α=AC/BC=2BC/BC=2 tg α=AD/PD, PD=AD/tg α=2/2=1 AP=√(AD²+PD²)=√4+1=√5 Треугольник KPD подобен треугольнику KBF с коэффициентом PD/BF=1/3 . Поэтому PK/BK=1/3. PK=KB-(AB-AP)=x-2x+√5=√5-x (√5-x)/x=1/3 3(√5-x)=x 4x=3√5 x=3√5/4 AB=2x=3√5/2. Треугольник APD подобен треугольнику ABC с коэффициентомAP/AB=√5*2/3√5=2/3 AD/AC=2/3, AC=3AD/2=3*2/2=3 PD/BC=2/3, BC=3PD/2=3*1/2=3/2=1.5
tg α=AC/BC=2BC/BC=2
tg α=AD/PD, PD=AD/tg α=2/2=1
AP=√(AD²+PD²)=√4+1=√5
Треугольник KPD подобен треугольнику KBF с коэффициентом PD/BF=1/3 .
Поэтому PK/BK=1/3.
PK=KB-(AB-AP)=x-2x+√5=√5-x
(√5-x)/x=1/3
3(√5-x)=x
4x=3√5
x=3√5/4
AB=2x=3√5/2.
Треугольник APD подобен треугольнику ABC с коэффициентомAP/AB=√5*2/3√5=2/3
AD/AC=2/3, AC=3AD/2=3*2/2=3
PD/BC=2/3, BC=3PD/2=3*1/2=3/2=1.5