P=12
Объяснение:
Поскольку стороны искомого шестиугольника целочисленные, а углы 120, будем решать на сетке из единичных равносторонних треугольников (ед.).
Правильный шестиугольник со стороной 1 состоит из 6 ед., искомый шестиугольник - из 18 ед.
Искомый шестиугольник виден, его периметр 12.
Попробуем доказать перебором, что он единственный.
Любой шестиугольник с углами 120 (внешние углы 60) можно достроить до равностороннего треугольника, продлив стороны.
Количество ед., из которых состоит равносторонний треугольник, равно квадрату его стороны (сумма последовательных нечетных чисел равна квадрату).
От равностороннего треугольника со стороной t нужно отсечь равносторонние треугольники со сторонами a, b, c и получить площадь 18 ед.
t^2 -a^2 -b^2 -c^2 =18
Из рисунка видно, что t не может быть больше 6 (фигура высотой 1 ед. будет параллелограммом или трапецией, но не шестиугольником).
Перебирая квадраты целых чисел, находим единственное решение:
6^2 -4^2 -1^2 -1^2 =18
Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) и перпендикулярную вектору (3,-5).
Координаты перпендикулярного вектора (3,-5) - это коэффициенты общего уравнения прямой: 3х - 5у + С = 0.
Подставим координаты точки .через которую проходит прямая.
3*1 - 5*2 + С = 0.
С = 10 - 3 = 7.
ответ: уравнение 3х - 5у + 7 = 0.
Задание 2. Объясните, как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, если известны их параметрические уравнения.
Оно равно смешанному произведение векторов, делённому на
векторное произведение векторов.
Задание 3. Объясните, как найти расстояние от точки (1, 2, 3) до прямой
(x-2)/1 = (y+3)/2 = (z+4)/3.
Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.
s = 1; 2; 3 - направляющий вектор прямой;
M1 = 2; -3; -4 - точка лежащая на прямой.
Тогда M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} =
(2 - 1; -3 - 2; -4 - 3) = (1; -5; -7).
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s =
i j k
1 -5 -7
1 2 3 =
= i(-5·3 - (-7)·2) - j(1·3 - (-7)·1) + k (1·2 - (-5)·1) =
= i(-15 + 14) - j(3 + 7) + k(2 + 5) = (-1; -10; 7).
Зная площадь параллелограмма и длину стороны, найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|
|s|
= √((-1)² + (-10)² + 7²)
√(1² + 2² + 3²)
= √150
√14
= √(75 /7)
= 5√21
7
≈ 3.273268.
P=12
Объяснение:
Поскольку стороны искомого шестиугольника целочисленные, а углы 120, будем решать на сетке из единичных равносторонних треугольников (ед.).
Правильный шестиугольник со стороной 1 состоит из 6 ед., искомый шестиугольник - из 18 ед.
Искомый шестиугольник виден, его периметр 12.
Попробуем доказать перебором, что он единственный.
Любой шестиугольник с углами 120 (внешние углы 60) можно достроить до равностороннего треугольника, продлив стороны.
Количество ед., из которых состоит равносторонний треугольник, равно квадрату его стороны (сумма последовательных нечетных чисел равна квадрату).
От равностороннего треугольника со стороной t нужно отсечь равносторонние треугольники со сторонами a, b, c и получить площадь 18 ед.
t^2 -a^2 -b^2 -c^2 =18
Из рисунка видно, что t не может быть больше 6 (фигура высотой 1 ед. будет параллелограммом или трапецией, но не шестиугольником).
Перебирая квадраты целых чисел, находим единственное решение:
6^2 -4^2 -1^2 -1^2 =18
Задание 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) и перпендикулярную вектору (3,-5).
Координаты перпендикулярного вектора (3,-5) - это коэффициенты общего уравнения прямой: 3х - 5у + С = 0.
Подставим координаты точки .через которую проходит прямая.
3*1 - 5*2 + С = 0.
С = 10 - 3 = 7.
ответ: уравнение 3х - 5у + 7 = 0.
Задание 2. Объясните, как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми, если известны их параметрические уравнения.
Оно равно смешанному произведение векторов, делённому на
векторное произведение векторов.
Задание 3. Объясните, как найти расстояние от точки (1, 2, 3) до прямой
(x-2)/1 = (y+3)/2 = (z+4)/3.
Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.
s = 1; 2; 3 - направляющий вектор прямой;
M1 = 2; -3; -4 - точка лежащая на прямой.
Тогда M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} =
(2 - 1; -3 - 2; -4 - 3) = (1; -5; -7).
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s =
i j k
1 -5 -7
1 2 3 =
= i(-5·3 - (-7)·2) - j(1·3 - (-7)·1) + k (1·2 - (-5)·1) =
= i(-15 + 14) - j(3 + 7) + k(2 + 5) = (-1; -10; 7).
Зная площадь параллелограмма и длину стороны, найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|
|s|
= √((-1)² + (-10)² + 7²)
√(1² + 2² + 3²)
= √150
√14
= √(75 /7)
= 5√21
7
≈ 3.273268.