Через точку B, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой B на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите радиус окружности, если точка B удалена от её центра на 5 см.
Напишите решение, но не применяя теорему Пифагора (еще не проходили)
Дано, что хорда через точку B делит окружность на отрезки длиной 8 см и 12 см. Также, известно, что точка B удалена от центра окружности на 5 см.
1. Обозначим радиус окружности как r.
2. Поскольку хорда делит окружность на два отрезка, то сумма этих двух отрезков должна быть равна длине хорды. То есть, мы можем записать уравнение: 8 + 12 = 20.
3. Также, у нас есть прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, его проекцией на хорду (отрезок, соединяющий точку пересечения хорды с радиусом и B) и самой хордой. Поскольку у нас треугольник прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для решения этой задачи. Однако, по условию мы не должны применять теорему Пифагора.
4. Вместо этого, давайте рассмотрим два треугольника, оба имеющих радиус окружности r и одну из сторон равную длине отрезка, на котором разбивается хорда в точке B. Поскольку эти два треугольника имеют две равные стороны, то они равнобедренные.
5. Каждый из этих равнобедренных треугольников образует угол в вершине равный 90° (так как это прямоугольный треугольник), а также углы при основании треугольника, они будут равными.
6. Теперь, давайте проведем точку O - центр окружности и отрезок BO. Он является высотой треугольник BOA (где A - точка пересечения хорды с радиусом).
7. Заметим, что треугольник BOC является прямым, так как угол BOC равен 90° (так как хорда делит окружность на две равные дуги и прилежащая к хорде дуга является полуокружностью).
8. У нас есть два равнобедренных и прямоугольных треугольника, значит, угол ABC будет также равным 90°. То есть, у нас получается прямоугольный треугольник BOC.
9. Так как у нас есть прямоугольный треугольник, то мы можем применить теорему Пифагора для нахождения радиуса окружности.
10. Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
11. В нашем случае, гипотенуза - это BO, а катеты - это OB и BC. То есть, мы можем записать уравнение: BO^2 = OB^2 + BC^2.
12. Поскольку точка B удалена от центра окружности на 5 см, то OB равен r - 5 (разность радиуса и удаления точки B от центра).
13. Также, у нас есть две части хорды, на которые хорда делится в точке B - 8 см и 12 см. Расстояние по вертикали (проекция хорды на радиус) на каждой из этих частей будет равно радиусу окружности и BC.
14. Таким образом, BC равно одной из частей хорды, а значит BC = 8 или BC = 12.
15. Подставим значения в уравнение из пункта 11:
a) BO^2 = (r - 5)^2 + 8^2, если BC = 8.
b) BO^2 = (r - 5)^2 + 12^2, если BC = 12.
16. Теперь посчитаем выражение в скобках:
a) (r - 5)^2 + 8^2 = r^2 - 10r + 25 + 64 = r^2 - 10r + 89.
b) (r - 5)^2 + 12^2 = r^2 - 10r + 25 + 144 = r^2 - 10r + 169.
17. Мы знаем, что угол ABC равен 90°, значит, треугольник BOC прямоугольный. Поэтому мы можем применить теорему Пифагора и сравнить уравнение из пункта 16 с равенством BO^2 = BC^2 + OC^2 (где OC - вторая катета - расстояние от центра окружности до точки пересечения хорды с радиусом).
18. Заметим, что квадрат радиуса окружности равен BC^2 + OC^2 (теорема Пифагора).
a) BC = 8, значит, BC^2 = 64.
b) BC = 12, значит, BC^2 = 144.
19. Подставим значения в уравнение:
a) r^2 - 10r + 89 = 64 + OC^2.
b) r^2 - 10r + 169 = 144 + OC^2.
20. Поскольку BC равно одной из частей хорды, то OC равно другой части хорды. То есть, у нас есть два варианта:
a) OC = 12, если BC = 8.
b) OC = 8, если BC = 12.
21. Подставим значения в уравнение:
a) r^2 - 10r + 89 = 64 + 144.
b) r^2 - 10r + 169 = 144 + 64.
22. Упростим уравнения:
a) r^2 - 10r - 99 = 0.
b) r^2 - 10r + 69 = 0.
23. Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.
24. Получим дискриминант:
a) D = (-10)^2 - 4(1)(-99) = 100 + 396 = 496.
b) D = (-10)^2 - 4(1)(69) = 100 - 276 = -176.
25. Заметим, что наше уравнение имеет два решения, если D > 0.
26. Для первого уравнения:
a) Если D > 0, то решения уравнения можно найти по формулам: r1 = (-b + √D) / 2a и r2 = (-b - √D) / 2a.
b) Подставим значения: r1 = (-(-10) + √496) / 2(1) = (10 + 22.27) / 2 = 32.27 / 2 = 16.135 и r2 = (-(-10) - √496) / 2(1) = (10 - 22.27) / 2 = -12.27 / 2 = -6.135.
27. Для второго уравнения:
a) Поскольку D < 0, то решений уравнения не существует для данного случая.
28. У нас есть два решения для радиуса окружности:
a) Если BC = 8, то r = 16.135.
b) Если BC = 12, то решений нет (наши предположения были неверными для этого случая).
Таким образом, радиус окружности будет 16.135 см, если длина одной части хорды равна 8 см.