Через точку K відрізка CD і його кінці проведено паралельні прямі, які перетинають деяку площину в точках K1, C1 і D1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка KK1, якщо відрізок CD перетинає площину і CC1 = 8 см, DD1 = 32 см, DM:MC = 7:3

Точки А и В пренадлежит двум взаимно перпендикулярным плоскостям Альфа и Бета (А пренадлежит Альфа, В пренадлежит Бета, А не пренадлежит Бета, В не пренадлежит Альфа). Расстояние от А к прямой пересечения Альфа и Бета равно 2 см, расстояние от В к этой прямой равно 4 см. Если проекция отрезка АВ на Альфа равна 3 см, то чему равна проекция АВ на Бета?

РЕШЕНИЕ:

АН = 2 см ; ВЕ = 4 см ; АЕ = 3 см

• ВЕ перпендикулярен Альфа, соответсвенно ВЕ перпендикулярен АЕ
Отрезок АЕ - это проекция отрезка АВ на плоскость Альфа
Рассмотрим тр. АЕВ (угол АЕВ = 90°):
По теореме Пифагора:
АВ^2 = АЕ^2 + ВЕ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
АВ = 5
• АН перпендикулярен Бета, соответсвенно АН перпендикулярен ВН
Отрезок ВН - это проекция отрезка АВ на плоскость Бета
Рассмотрим тр. АНВ (угол АНВ = 90°):
По теореме Пифагора:
АВ^2 = АН^2 + ВН^2
ВН^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21
ВН = V21

ОТВЕТ: V21

Основанием наклонной треугольной призмы есть правильный треугольник. Если боковое ребро призмы имеет длину 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°, а одна из вершин призмы проектируется в центр нижнего основания, то чему равен объем призмы?

РЕШЕНИЕ:

• Рассмотрим тр. В1ВН (угол В1НВ = 90°):
sin30° = B1H/BB1 => B1H = BB1 • sin30° = 8 • 1/2 = 4 см
cos30° = BH/BB1 => BH = BB1 • cos30° = 8 • V3/2 = 4V3 см
• Рассмотрим тр. АВС ( равносторонний ):
BH = R = 4V3
AB = a = V3R = V3 • 4V3 = 4 • 3 = 12 см
AB = BC = AC = 12 см
• Обьём прямой призмы равен:
V = S осн. • h = S abc • B1H = ( a^2 • V3 / 4 ) • 4 = ( 12^2• V3 / 4 ) • 4 = 144V3

ОТВЕТ: 144V3