Через точку М стороны ВС параллелограмма АВСD проведены прямую, параллельно стороне СD. Эта прямая пересекает отрезки BD и AD в точках K и F соответственно. известно, что ВМ: FD = 2: 1. Чему равна отношение КD: BK?
Тут вся соль в том, что AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC; Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что x + y = AB; (надо найти) x + z = AC = 17; y + z = BC = 12; Из первой цепочки равенств следует, что (x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или 2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2; Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2; x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20; AB =20;
1. 10 см.
2. BD=AC=10 см.
Объяснение:
Р ABC=AB+BC+AC;
AB=AD+BD; BC=CL+BL; AC=AK+CK;
P AKD=AK+KD+AD;
P BDL=BD+BL+DL;
Замечаем, что KD=CL и DL=KC;
В Р AKD заменим KD на CL;
В P BDL заменяем DL на KC.
Получаем Р AKD + P BDL=AK+CL+AD + DB+BL+KC=10;
AD+DB=AC; CL+BL=BC; FR+CK=AC.
И в итоге Р ABC=10 см.
***
2. Пусть меньший угол равен х. Тогда больший равен 2х.
Знаем, что угол А=90*.
х+2х=90*;
3х=90*;
х=30* - меньший угол;
Больший угол равен 2х=2*30=60*.
DA/AC=Sin30*;
AC=DA/Sin30*=5/(1/2)=5*2=10 см.
Так как у прямоугольника диагонали равны, то BD=AC=10 см.
AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC;
Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что
x + y = AB; (надо найти)
x + z = AC = 17;
y + z = BC = 12;
Из первой цепочки равенств следует, что
(x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или
2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2;
Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2;
x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20;
AB =20;