Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5

1) 256 см²

2) 40 дм²

Объяснение:

1)

Сечение цилиндра, параллельное его оси, - прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая - AD -  хорда основания.

Проведем ОН ⊥ AD.  Сечение параллельно оси, значит отрезок АВ перпендикулярен плоскости основания. Значит АВ⊥ОН. Тогда ОН⊥(АВС), т.е. ОН = 6 см - расстояние от оси до плоскости сечения.

ΔАОН: ∠АНО = 90°, по теореме Пифагора

            АН = √(АО² - ОН²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см

ΔAOD равнобедренный (ОА = OD как радиусы), значит ОН - высота и медиана.

AD = 2 · AH = 2 · 8 = 16 см

Sabcd = AD · AB = 16 · 16 = 256 см²

2)

Если сечение перпендикулярно основанию, то оно параллельно оси цилиндра и имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна высоте, а другая - AD - хорда, отсекающая от окружности основания дугу в 60°.

∠AOD = 60°, так как центральный угол равен дуге, на которую опирается.

ΔAOD равнобедренный (AO = OD как радиусы) с углом 60°, значит он равносторонний.

AD = AO = 5 дм

АВ = 8 дм

Sabcd = AB · AD = 5 · 8 = 40 дм²

В условии просят найти расстояние от точки А до прямой ВС, а не к отрезку ВС! Это очень важно различать. Прямая на плоскости бесконечна, она не имеет длины, отрезок - часть прямой, она имеет длину. Так что сразу через точки В и С проведём прямую. Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к этой прямой. Проведём к прямой ВС из точки А отрезок АН так, чтобы он пересекал прямую ВС под прямы углом. Это и есть расстояние, которое нужно найти. Оно занимает 4 клетки. Поэтому, в ответ пойдёт это число.

ответ: 4.