Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулрная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 6м, 7м, 9м. Найдите отрезок АК.

В основании правильной пирамиды - правильный треугольник.  Вершина S проецируется в центр О основания.  Высота правильного треугольника СН= (√3/2)*а, где а - сторона треугольника.   СН=13√3/2.  В правильном треугольнике высота=медиана и делится центром в отношении 2:1, считая от вершины. => HO=(1/3)*CH, а СО=(2/3)*СН или СО=13√3/3, НО=13√3/6.  

По Пифагору:  

Боковое ребро пирамиды SC=√(CO²+SO²) = √(313/3).

Апофема (высота боковой грани) SH=√(НO²+SO²) = √(745/12).

Боковая поверхность Sбок = (1/2)*3*АВ*SH =(39/4)*(√(745/3).

Как я понимаю, точки А и С находятся на окружности, тогда

Пусть О это точка центра окружности, она делит диаметр BD на два радиуса. Если ВС равен половине диаметра, то ВС = радиусу. Тогда треугольник ОВС равносторонний и угол ОВС =60 градусов. Теперь рассмотрим треугольник DBC он прямоугольный и угол В=60, тогда угол BDC равен 30.

Угол DAC опирается на дугу 120 градусов ( 180-60=120), следовательно угол DAC равен 60 градусов. Т.е. у нас равнобедренный треугольник DAC c углом 60 градусов, тогда при основании DC также угла по 60 градусов.

Тогда отрезок DB делит угол ADC на углы BDC=30 ( смотри решение выше) и угол BDA=ADC-BDC=60-30, на равные углы. Т.е. DB  биссектриса угла ADC. Ч.Т.Д.