Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная плоскости квадрата. Вычислите расстояние от точки M до прямой BD, если MC = 1 см, CD = 4 см.
а) Из равенства треугольников имеем: AB = CD и AD = BC. Это значит, что стороны четырехугольника попарно равны, поэтому он и является параллелограммом.
б) AD = BC как стороны параллелограмма, <ADE = <CBM по условию, а <А = <С как противоположные углы параллелограмма, это значит, что ∆CMB = ∆AED. Из этого следует, что ED = BM. AE = CM (из равенства треугольников), значит EB = DM.
Из этого следует, что четырехугольник BEDM - параллелограмм.
в) Дополнительно проведем диагональ AC, которая является диагональю и для четырехугольника AKCP. AO = OC и BO = OD по свойству параллелограмма ABCD. <CPD = <AKB = 90°. CD = AB по свойству параллелограмма, AK = CP как перпендикуляры. Из вышеперечисленного следует, что ∆CPD = ∆AKB. Из равенства треугольников: BK = PD. KO = OB - BK, PO = OD - DP, поскольку OD = OB, а DP = BK, то PO = OB - BK, следовательно OK = OP. Диагонали четырехугольника AKCP делятся точкой пересечения пополам, поэтому AKCP - параллелограмм.
АМ ⊥ плоскости ABCD ⇒ AM ⊥ АС , так как АМ ⊥ любой прямой, лежащей в плоскости ABCD . Значит , ΔАМС - прямоугольный и ∠МАС=90° ,
АМ=2 см .
Найдём длину АС из ΔACD , ∠ADC=90° как угол прямоугольника ABCD . По теореме Пифагора имеем
Получили, что катеты прямоугольного ΔАМС равны по 2 см . Значит, этот треугольник равнобедренный . А так как он ещё и прямоугольный , то сумма острых углов равна 90° и ∠АМС=∠АСМ=90°:2=45° .
Угол между прямой АМ и плоскостью ABCD равен углу между наклонной АМ и её проекцией АС на эту плоскость .
Объяснение:
а) Из равенства треугольников имеем: AB = CD и AD = BC. Это значит, что стороны четырехугольника попарно равны, поэтому он и является параллелограммом.
б) AD = BC как стороны параллелограмма, <ADE = <CBM по условию, а <А = <С как противоположные углы параллелограмма, это значит, что ∆CMB = ∆AED. Из этого следует, что ED = BM. AE = CM (из равенства треугольников), значит EB = DM.
Из этого следует, что четырехугольник BEDM - параллелограмм.
в) Дополнительно проведем диагональ AC, которая является диагональю и для четырехугольника AKCP. AO = OC и BO = OD по свойству параллелограмма ABCD. <CPD = <AKB = 90°. CD = AB по свойству параллелограмма, AK = CP как перпендикуляры. Из вышеперечисленного следует, что ∆CPD = ∆AKB. Из равенства треугольников: BK = PD. KO = OB - BK, PO = OD - DP, поскольку OD = OB, а DP = BK, то PO = OB - BK, следовательно OK = OP. Диагонали четырехугольника AKCP делятся точкой пересечения пополам, поэтому AKCP - параллелограмм.
Прямоугольник ABCD ⇒ ВС=AD=1 cм , CD=AB=√3 см .
АМ ⊥ плоскости ABCD ⇒ AM ⊥ АС , так как АМ ⊥ любой прямой, лежащей в плоскости ABCD . Значит , ΔАМС - прямоугольный и ∠МАС=90° ,
АМ=2 см .
Найдём длину АС из ΔACD , ∠ADC=90° как угол прямоугольника ABCD . По теореме Пифагора имеем
Получили, что катеты прямоугольного ΔАМС равны по 2 см . Значит, этот треугольник равнобедренный . А так как он ещё и прямоугольный , то сумма острых углов равна 90° и ∠АМС=∠АСМ=90°:2=45° .
Угол между прямой АМ и плоскостью ABCD равен углу между наклонной АМ и её проекцией АС на эту плоскость .
Это будет угол ∠АСМ=45° .