Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде AB= 6√3 см и стягивающая дугу 120 градусов. Образующая конуса 12 см. Найти S бок. и S полн.
Для доказательства, что точки C1, D1 и E1 лежат на одной прямой, мы можем воспользоваться свойством параллельных прямых.
Поскольку прямая п, проходящая через точку С, параллельна прямой с, пересекающей плоскость бета в точке C1, то прямые п и с имеют одинаковый угол наклона относительно плоскости бета. Аналогично, прямые q и d также имеют одинаковый угол наклона относительно плоскости бета, и прямые r и e имеют одинаковый угол наклона относительно плоскости бета.
Теперь рассмотрим треугольник ECD. Угол CED равен 180 градусам, так как С, Е и D лежат на одной прямой. Угол ECD и угол EDC равны друг другу и составляют асимптотически прямой угол, так как прямые п, q и r параллельны друг другу и пересекаются с плоскостью бета под равными углами. Следовательно, углы ECD и EDC равны друг другу.
Теперь рассмотрим треугольник E1C1D1. Угол C1E1D1 равен 180 градусам, так как C1, E1 и D1 лежат на одной прямой. Угол C1E1D1 и углы C1E1D1 и C1D1E1 равны друг другу и составляют асимптотически прямой угол, так как прямые п, q и r параллельны друг другу и пересекаются с плоскостью бета под равными углами. Следовательно, углы C1E1D1 и C1D1E1 равны друг другу.
Итак, у нас есть два треугольника, ECD и E1C1D1, в которых углы ECD и EDC равны углам C1E1D1 и C1D1E1 соответственно. Таким образом, все три угла в каждом из треугольников равны друг другу. Согласно свойствам треугольников, это означает, что треугольники ECD и E1C1D1 равны, и все их соответствующие стороны также равны.
Таким образом, точки C1, D1 и E1 лежат на одной прямой, так как они являются соответствующими вершинами равных треугольников ECD и E1C1D1.
1. Рисуем трапецию АВСD в плоскости бета. Основания трапеции обозначим буквами А и D, более длинное основание обозначим AD, а менее длинное - BC.
2. Нам известно, что BC лежит вне плоскости бета, то есть она не лежит в той же плоскости, что и основания трапеции. Поэтому мы можем сделать вывод, что BC пересекает плоскость бета в некоторой точке F.
3. Нам также дано, что на стороне СD выбрана точка Е так, что СЕ:ЕD=2:3. Это означает, что отрезок СЕ составляет 2 части от общей длины СЕD, а отрезок ЕD – 3 части.
4. Так как мы знаем, что отрезок СЕ составляет 2 части от общей длины СЕD, то можем представить отрезок СЕ как 2x и отрезок ЕD как 3x, где x – некоторая величина, которую мы хотим найти.
5. Теперь обратимся к точке пересечения прямой ВЕ и плоскости бета, которую обозначили как F. Мы хотим найти длину отрезка DF.
6. Так как ВЕ является прямой, и эта прямая пересекает плоскость бета в точке F, то мы можем сделать вывод, что отрезок DF является высотой трапеции АВСD относительно основания AD.
7. Заметим, что отрезок СЕ является высотой трапеции АСЕD относительно основания AD. Так как высота трапеции делит ее более длинное основание на две части пропорционально отношению высот, то можем записать следующее соотношение:
СE:AD = СЕD:CF
Подставляя известные значения, получаем:
2x:8 = 5x:CF
Упростим это выражение, домножая обе части на 8:
16x = 5x * CF
Делая обе части равенства одинаковыми (поскольку CF – величина, которую мы хотим найти), мы получаем:
16x = 5x * CF
8. Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение CF:
16x = 5x * CF
Делим обе части на 5x:
16 = CF
Итак, CF = 16.
9. Таким образом, мы нашли значение CF, которое равно 16. Обратимся к трапеции АВСD и отметим точку F на отрезке CD так, чтобы CF = 16.
10. Отрезок DF является высотой трапеции АВСD относительно основания AD. Мы знаем, что CF является частью высоты трапеции, которая делится отношением СЕ:ED, равным 2:3. Так как отрезок CF имеет длину 16, значит, отрезок DF также делится этим же отношением.
Таким образом, можно записать:
DF:CF = 2:3
Подставим известные значения:
DF:16 = 2:3
Домножаем обе части на 16:
DF = 16 * (2/3) = 32/3
Итак, DF равно 32/3.
Таким образом, мы нашли значение DF, которое равно 32/3.
Поскольку прямая п, проходящая через точку С, параллельна прямой с, пересекающей плоскость бета в точке C1, то прямые п и с имеют одинаковый угол наклона относительно плоскости бета. Аналогично, прямые q и d также имеют одинаковый угол наклона относительно плоскости бета, и прямые r и e имеют одинаковый угол наклона относительно плоскости бета.
Теперь рассмотрим треугольник ECD. Угол CED равен 180 градусам, так как С, Е и D лежат на одной прямой. Угол ECD и угол EDC равны друг другу и составляют асимптотически прямой угол, так как прямые п, q и r параллельны друг другу и пересекаются с плоскостью бета под равными углами. Следовательно, углы ECD и EDC равны друг другу.
Теперь рассмотрим треугольник E1C1D1. Угол C1E1D1 равен 180 градусам, так как C1, E1 и D1 лежат на одной прямой. Угол C1E1D1 и углы C1E1D1 и C1D1E1 равны друг другу и составляют асимптотически прямой угол, так как прямые п, q и r параллельны друг другу и пересекаются с плоскостью бета под равными углами. Следовательно, углы C1E1D1 и C1D1E1 равны друг другу.
Итак, у нас есть два треугольника, ECD и E1C1D1, в которых углы ECD и EDC равны углам C1E1D1 и C1D1E1 соответственно. Таким образом, все три угла в каждом из треугольников равны друг другу. Согласно свойствам треугольников, это означает, что треугольники ECD и E1C1D1 равны, и все их соответствующие стороны также равны.
Таким образом, точки C1, D1 и E1 лежат на одной прямой, так как они являются соответствующими вершинами равных треугольников ECD и E1C1D1.
1. Рисуем трапецию АВСD в плоскости бета. Основания трапеции обозначим буквами А и D, более длинное основание обозначим AD, а менее длинное - BC.
2. Нам известно, что BC лежит вне плоскости бета, то есть она не лежит в той же плоскости, что и основания трапеции. Поэтому мы можем сделать вывод, что BC пересекает плоскость бета в некоторой точке F.
3. Нам также дано, что на стороне СD выбрана точка Е так, что СЕ:ЕD=2:3. Это означает, что отрезок СЕ составляет 2 части от общей длины СЕD, а отрезок ЕD – 3 части.
4. Так как мы знаем, что отрезок СЕ составляет 2 части от общей длины СЕD, то можем представить отрезок СЕ как 2x и отрезок ЕD как 3x, где x – некоторая величина, которую мы хотим найти.
5. Теперь обратимся к точке пересечения прямой ВЕ и плоскости бета, которую обозначили как F. Мы хотим найти длину отрезка DF.
6. Так как ВЕ является прямой, и эта прямая пересекает плоскость бета в точке F, то мы можем сделать вывод, что отрезок DF является высотой трапеции АВСD относительно основания AD.
7. Заметим, что отрезок СЕ является высотой трапеции АСЕD относительно основания AD. Так как высота трапеции делит ее более длинное основание на две части пропорционально отношению высот, то можем записать следующее соотношение:
СE:AD = СЕD:CF
Подставляя известные значения, получаем:
2x:8 = 5x:CF
Упростим это выражение, домножая обе части на 8:
16x = 5x * CF
Делая обе части равенства одинаковыми (поскольку CF – величина, которую мы хотим найти), мы получаем:
16x = 5x * CF
8. Теперь мы можем решить это уравнение и найти значение CF:
16x = 5x * CF
Делим обе части на 5x:
16 = CF
Итак, CF = 16.
9. Таким образом, мы нашли значение CF, которое равно 16. Обратимся к трапеции АВСD и отметим точку F на отрезке CD так, чтобы CF = 16.
10. Отрезок DF является высотой трапеции АВСD относительно основания AD. Мы знаем, что CF является частью высоты трапеции, которая делится отношением СЕ:ED, равным 2:3. Так как отрезок CF имеет длину 16, значит, отрезок DF также делится этим же отношением.
Таким образом, можно записать:
DF:CF = 2:3
Подставим известные значения:
DF:16 = 2:3
Домножаем обе части на 16:
DF = 16 * (2/3) = 32/3
Итак, DF равно 32/3.
Таким образом, мы нашли значение DF, которое равно 32/3.