Четырехугольник klmn вписан в окружность, причем kl=4см, ml=6см, угол klm=120 градусов, а диагональ ln является одновременно биссектрисой угла klm. найдите длину диагонали ln.
Сделаем рисунок. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180° Т.к. угол КLМ =120°, угол МNК=60° LN - биссектриса. Углы МLN=КLN=60° В окружности равные вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды. Хорды МN=КN. Треугольник КNМ - равнобедренный с равными углами при стороне КМ. Из суммы углов треугольника углы при КМ равны по 60°⇒ треугольник КМN - равносторонний. По т.косинусов найдем сторону КМ из треугольника КLМ. КМ²=4²+6²-2*4*6*cos (120°) KM²=76 Из треугольника МLN по т.косинусов выразим сторону MN МN²=LМ²+LN²-2*6*LN*cos(60°) 76=36+LN²-6*LN LN²-6*LN-40=0 Решив квадратное уравнение (вычисления сделаете сами), LN=10 Второй корень отрицательный и не подходит.
Т.к. угол КLМ =120°, угол МNК=60°
LN - биссектриса.
Углы МLN=КLN=60°
В окружности равные вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды.
Хорды МN=КN.
Треугольник КNМ - равнобедренный с равными углами при стороне КМ.
Из суммы углов треугольника углы при КМ равны по 60°⇒
треугольник КМN - равносторонний.
По т.косинусов найдем сторону КМ из треугольника КLМ.
КМ²=4²+6²-2*4*6*cos (120°)
KM²=76
Из треугольника МLN по т.косинусов выразим сторону MN
МN²=LМ²+LN²-2*6*LN*cos(60°)
76=36+LN²-6*LN
LN²-6*LN-40=0
Решив квадратное уравнение (вычисления сделаете сами),
LN=10
Второй корень отрицательный и не подходит.