Проведем биссектрису угла А - АМ. Так как ∠А = 2∠С, то половинки угла А равны углу С.
Обозначим АВ = а, тогда ВС = а + 2, ВМ = b, МС = а + 2 - b.
По свойству биссектрисы: ВМ : МС = АВ : ВС b : (a + 2 - b) = a : 5 5b = a² + 2a - ab (1)
Треугольники СВА и АВМ подобны по двум углам: ∠ВСА = ∠ВАМ, угол В общий. Из подобия треугольников следует: СВ : АВ = ВА : ВМ (a + 2) : a = a : b a² = b(a + 2) a² = ab + 2b ab - a² + 2b = 0 (2)
Из двух уравнений получаем систему: a² + 2a - ab = 5b ab - a² + 2b = 0 складываем
2a + 2b = 5b 2a = 3b b = 2a/3 подставляем в первое
a² + 2a - a·2a/3 = 5·2a/3 умножаем на 3 3a² + 6a - 2a² - 10a = 0 a² - 4a = 0 a(a - 4) = 0 a = 4 или a = 0 - не подходит по смыслу задачи.
Периметр ромба равен 8 м.
Объяснение:
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно ∠KEL = ∠EKL.
∠EOA = ∠EKL (дано). =>
∠KEL = ∠EAO => треугольник EOA равнобедренный.
Кроме того, АВ║LK║EF (так ∠EOA = ∠EKL соответствкнные углы при АВ и LK и секущей ЕК).
Значит ЕА = АО =1м.
АО = ОВ (так как точка О - точка пересечения диагоналей ромба).
AEFB - параллелограмм (так как АВ║EF и EA║FB). =>
EF =AB = 2·AO = 2 м.
Итак, сторона ромба равна 2м, тогда его периметр равен 8м (стороны ромба равны).
Так как ∠А = 2∠С, то половинки угла А равны углу С.
Обозначим АВ = а, тогда ВС = а + 2,
ВМ = b, МС = а + 2 - b.
По свойству биссектрисы:
ВМ : МС = АВ : ВС
b : (a + 2 - b) = a : 5
5b = a² + 2a - ab (1)
Треугольники СВА и АВМ подобны по двум углам: ∠ВСА = ∠ВАМ, угол В общий.
Из подобия треугольников следует:
СВ : АВ = ВА : ВМ
(a + 2) : a = a : b
a² = b(a + 2)
a² = ab + 2b
ab - a² + 2b = 0 (2)
Из двух уравнений получаем систему:
a² + 2a - ab = 5b
ab - a² + 2b = 0 складываем
2a + 2b = 5b
2a = 3b
b = 2a/3 подставляем в первое
a² + 2a - a·2a/3 = 5·2a/3 умножаем на 3
3a² + 6a - 2a² - 10a = 0
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 4 или a = 0 - не подходит по смыслу задачи.
АВ = 4 см
ВС = 4 + 2 = 6 см