Чому дорівнює сума внутрішнього й зовнішнього кутів трикутника при одній вершині
а)180
б)360
г)90

Решение: Пусть ABCD – данная трапеция, AB||CD,AD=BC,AB<CD.

Угол ADC=угол BCD=a

Пусть О – центр вписанной в трапецию окружности. K, L, M, N – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соотвеcтвенно.

Площадь трапеции равна (AB+CD)\2*2r=(AB+CD)*r.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

Угол ODC=угол OCD=а\2

Угол OAB=угол OBA =90-а\2.

Далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)

Угол KON= угол MON=180-а.

Угол KOL= угол MOL=a.

Площадь KLMN равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).

DN=CN=r*ctg (a\2), CD=2*r*ctg (a\2).

AL=BL=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), AB=2*r*tg (a\2)

Площадь трапеции ABCD равна (AB+CD)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=

2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))).

площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции

2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))) *100%=

=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=

=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %

ответ: (sin a^2 * 50) %

65° и 115°

Объяснение:

Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными, а углы 3 и 6, 4 и 5 называются односторонними (см. рисунок). Заметим, что в таком случае углы 2 и 6 равны: ∠2 = ∠6.

По условию разность двух односторонних углов, то есть ∠6 и ∠3, при пересечении двух параллельных секущей равна 50 градусам:  

∠6 - ∠3 = 50°. Тогда по замечанию ∠2 - ∠3 = ∠6 - ∠3 = 50°.

Но углы 2 и 3 смежные и поэтому ∠2 + ∠3 = 180°

Имеем систему равенств:

∠2 - ∠3 = 50°          (1)

∠2 + ∠3 = 180°       (2)

Из уравнения (1) выразим ∠2 через ∠3:

∠2 = 50° + ∠3

Подставим выражение ∠2 в (2):

50° + ∠3 + ∠3 = 180° или

2·∠3 = 180° - 50° или

2·∠3 = 130° или

∠3 = 130° : 2 = 65°.

Тогда ∠2 = 50° + ∠3 = 50° + 65° = 115°

ответ: 65° и 115°