циліндр вписано в пряму призму, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом альфа і бічною стороною 8 см. знайдіть площу повної поверхні призми, якщо висота дорівнює діаметру основі циліндра​

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 √41 и 25√41, то по теореме Пифагора гипотенуза = √(20 √41)² + (25√41)²=√16400+25625=√42025=205
Площади треугольника равна:
S = (20 √41 * 25√41) / 2 (половине произведения катетов).
Площади треугольника равна:
S = (205 * х) / 2 = (половина произведения стороны на высоту, проведенную к ней) 
где х - высота, проведенная к гипотенузе.

Составим равенство и найдем значение х:
(20 √41 * 25√41) / 2 = (205 * х) / 2 
(20 √41 * 25√41)  = (205 * х)  (умножили на 2) 
√400*41*√625*41=205х
√16400*√25625=205х
√420250000=205х
20500=205х
x=20500:205
x=100
ответ: Высота равна 100.

В четырехугольнике ABCD биссектриса угла А перпендикулярна биссектрисе угла В. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В сторону AD в точке N.
Докажите , что ABMN - ромб
-------- 
В ∆ АВN биссектриса АО перпендикулярна BN. ⇒,  
АО - его высота и медиана, и этот треугольник равнобедренный.  
АВ=AN  
В ∆ АВМ - биссектриса ВО перпендикулярна АМ. ⇒  
∆ АВМ - равнобедренный.  
АВ=ВМ.  
Но АВ=AN, значит, АN=BM 
 На том же основании АN=MN. 
В четырехугольнике АВМN все стороны равны,  диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. ⇒  
АВМN - ромб, ч.т.д.