Цилиндр описан около прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами длиной 8 см и 19 см. Известно, что большая грань призмы — квадрат. Определи площадь полной поверхности цилиндра.
Чтобы решить эту задачу, мы должны разбить ее на несколько шагов:
Шаг 1: Найдите гипотенузу треугольника.
1. По условию, катеты треугольника имеют длину 8 см и 19 см.
2. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы. Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом: a^2 + b^2 = c^2, где "a" и "b" - это длины катетов, а "c" - это длина гипотенузы.
3. Вставляя значения в формулу, получаем: 8^2 + 19^2 = c^2.
4. Рассчитываем: 64 + 361 = c^2.
5. Складываем числа: 425 = c^2.
6. Чтобы найти "c", извлекаем квадратный корень из обоих сторон уравнения: √425 = √c^2.
7. Упрощаем выражение: 20,62 ≈ c.
8. Получаем, что гипотенуза треугольника равна примерно 20,62 см.
Шаг 2: Найдите площадь основания призмы.
1. По условию, большая грань призмы - это квадрат. Так как квадрат имеет все стороны одинаковой длины, нам необходимо найти длину одной из сторон квадрата.
2. В предыдущем шаге мы нашли гипотенузу треугольника, который является основанием призмы. Так как гипотенуза перпендикулярна одному из катетов прямоугольного треугольника, мы можем использовать этот катет в качестве стороны квадрата.
3. Длина одной из сторон квадрата равна 8 см.
Шаг 3: Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
1. Цилиндр описан около прямой призмы, поэтому его боковая поверхность будет иметь такую же площадь, как и боковая поверхность призмы.
2. Площадь боковой поверхности призмы - это периметр основания умноженный на высоту призмы. В данном случае, высота призмы будет равна длине гипотенузы (20,62 см).
3. Периметр основания призмы - это сумма длин всех сторон квадрата. У нас есть только одна сторона квадрата, поэтому периметр будет равен 8 см * 4 = 32 см.
4. Площадь боковой поверхности призмы: 32 см * 20,62 см = 660,08 см^2.
5. Так как площадь боковой поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности призмы, то площадь боковой поверхности цилиндра будет также равна 660,08 см^2.
Шаг 4: Найдите площадь основания цилиндра.
1. Как уже упоминалось в условии, большая грань призмы - это квадрат. Площадь квадрата вычисляется как сторона, возведенная в квадрат.
2. Длина стороны квадрата равна 8 см.
3. Площадь основания цилиндра: 8 см * 8 см = 64 см^2.
Шаг 5: Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
1. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
2. Площадь полной поверхности цилиндра: 660,08 см^2 + 2 * 64 см^2 = 788,08 см^2.
Итак, площадь полной поверхности цилиндра составляет примерно 788,08 см^2.
Шаг 1: Найдите гипотенузу треугольника.
1. По условию, катеты треугольника имеют длину 8 см и 19 см.
2. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы. Формула теоремы Пифагора выглядит следующим образом: a^2 + b^2 = c^2, где "a" и "b" - это длины катетов, а "c" - это длина гипотенузы.
3. Вставляя значения в формулу, получаем: 8^2 + 19^2 = c^2.
4. Рассчитываем: 64 + 361 = c^2.
5. Складываем числа: 425 = c^2.
6. Чтобы найти "c", извлекаем квадратный корень из обоих сторон уравнения: √425 = √c^2.
7. Упрощаем выражение: 20,62 ≈ c.
8. Получаем, что гипотенуза треугольника равна примерно 20,62 см.
Шаг 2: Найдите площадь основания призмы.
1. По условию, большая грань призмы - это квадрат. Так как квадрат имеет все стороны одинаковой длины, нам необходимо найти длину одной из сторон квадрата.
2. В предыдущем шаге мы нашли гипотенузу треугольника, который является основанием призмы. Так как гипотенуза перпендикулярна одному из катетов прямоугольного треугольника, мы можем использовать этот катет в качестве стороны квадрата.
3. Длина одной из сторон квадрата равна 8 см.
Шаг 3: Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
1. Цилиндр описан около прямой призмы, поэтому его боковая поверхность будет иметь такую же площадь, как и боковая поверхность призмы.
2. Площадь боковой поверхности призмы - это периметр основания умноженный на высоту призмы. В данном случае, высота призмы будет равна длине гипотенузы (20,62 см).
3. Периметр основания призмы - это сумма длин всех сторон квадрата. У нас есть только одна сторона квадрата, поэтому периметр будет равен 8 см * 4 = 32 см.
4. Площадь боковой поверхности призмы: 32 см * 20,62 см = 660,08 см^2.
5. Так как площадь боковой поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности призмы, то площадь боковой поверхности цилиндра будет также равна 660,08 см^2.
Шаг 4: Найдите площадь основания цилиндра.
1. Как уже упоминалось в условии, большая грань призмы - это квадрат. Площадь квадрата вычисляется как сторона, возведенная в квадрат.
2. Длина стороны квадрата равна 8 см.
3. Площадь основания цилиндра: 8 см * 8 см = 64 см^2.
Шаг 5: Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
1. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
2. Площадь полной поверхности цилиндра: 660,08 см^2 + 2 * 64 см^2 = 788,08 см^2.
Итак, площадь полной поверхности цилиндра составляет примерно 788,08 см^2.