CРОЧН 1- Через вершину А правильного треугольника АВС проведена плоскость α параллельно стороне ВС так, что сторона АС составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α, если АВ = 12 см.

2- Из вершины А прямого угла треугольника АВС проведён перпендикуляр AM к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки М до стороны ВС треугольника, если AM = 1 см, АВ = 3 см, АС = 4 см.

3- Плоскости двух равных прямоугольных трапеций ABCD и KDCM взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние ВК, если CD ⊥ ВС, CD ⊥ DK, ВС = DK = 3 см, DC = 4 см.

а)

Удвоим медиану. Получим точку K. ( cм. рис.)

Четырехугольник КАВС – параллелограмм.

(Диагонали АС и ВК в точке пересечения делятся пополам.

АМ=МС по условию, что ВМ – медиана,

ВМ=МК по построению)

Значит, АК=ВС; КС=АВ.

Запишем неравенство треугольника

ВК ≤ KA+AB=BC+AB

BK ≤ KC+BC=AB+BC

Cкладываем

2BK ≤ 2AB+2BC

BK≤ AB+BC

2BM ≤ AB+BC

BM ≤ (AB+BC)/2

б)Δ АВК=Δ ВСК

( по трем сторонам)

В треугольнике АВК известны три стороны:

АВ=17

АК=9

ВК=10

По формуле Герона находим площадь Δ АВК

p=(17+10+9)/2=18

S=√18·1·9·8=36

S(параллелограмма КАВС)=2S(Δ АВК)=2·36=72

S( Δ ABC)=(1/2)S(параллелограмма КАВС)=36

О т в е т. 36



В тетраэдре DABC точка M делит пополам ребро AD.  Известно, что в этом тетраэдре  BA=BD;CA=CD. На рисунке  . Докажи, что прямая, на которой находится ребро AD, перпендикулярна плоскости (BCM).

Объяснение:

1. В тетраэдре все  боковые ребра , проведенные из вершины тетраэдра , равны. По условию BA=BD;CA=CD ,значит ΔADB –равносторонний,  ΔDAC –равносторонний.

2. По свойству медианы равнобедренного треугольника , она является высотой, значит ВМ⊥ АD и СМ ⊥AD .

Поэтому  угол , который образует медиана с основаниями  этих треугольников равен 90°

3. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости , если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым МС и МВ , лежащим в плоскости ВСМ, то она перпендикулярна к этой плоскости (ВСМ).