Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 см і 20 см, акут між ними 37°. Знайдіть сто-
рони паралелограма.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро - 2 дм. Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды?

РЕШЕНИЕ:

• В правильной пирамиде все боковые рёбра равны: АЕ = ВЕ = СЕ = 2 дм = 20 см
• Рассмотрим тр. СЕВ ( СЕ = ВЕ ):
Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60° , то этот треугольник равносторонний.
Доказать это свойство несложно. Найдите другие углы равнобедренного треугольника и поймёте, что этот треугольник равносторонний.
Площадь равностороннего треугольника СЕВ вычисляется по формуле:



где а - сторона равностороннего треугольника

S ceb = 400V3 / 4 = 100V3

• В этой правильной треугольной пирамиде все рёбра равны в виду того, что боковые грани - равносторонние треугольники. Вследствие этого получаем правильный тетраэдр. Все грани правильного тетраэдра равны =>

S пол.пов. = 4 • S ceb = 4 • 100V3 = 400V3 см^2

ОТВЕТ: 400V3 см^2 или 4V3 дм^2

АЕ = ЕС, значит ΔAEC - равнобедренный.

∠ЕАС = ∠ЕСА (свойство равнобедренного треугольника), обозначим их α.

Пусть АВ = а, тогда АС = 2а.

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда

ВЕ:ЕС = АВ:АС = 1:2

Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2х.

В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:

cosα = (AE² + AC² - EC²)/(2AE·AC)

cosα = (4x² + 4a² - 4x²)/(8ax) = a/(2x)

В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:

cosα = (AB² + AE² - BE²)/(2AB·AE)

cosα = (a² + 4x² - x²)/(4ax) = (a² + 3x²)/(4ax)

(a² + 3x²)/(4ax) = a/(2x)

a² + 3x² = 2a²

a² = 3x²

a = x√3

cosα = a/(2x) = x√3/(2x) = √3/2 ⇒ α = 30°

∠ВСА = 30°

∠ВАС = 2∠ВСА = 60°  

∠АВС = 180° - ∠ВСА - ∠ВАС = 90°

ответ: 30°, 60°, 90°.