Пусть ad = a1d1 — равные биссектрисы, ∠a = ∠a1, ac = a1c1 — равные стороны. в δаdс = δa1d1c1: ∠dac = ∠d1a1c1 (т.к. ∠dac половина угла ∠bac ∠dac = ∠bac : 2 = ∠b1a1c1 : 2 = ∠d1a1c1). ad = a1d1, ас = а1с1. (по условию: ad = a1d1 — равные биссектрисы, aс = a1c1 — равные прилежащие стороны). таким образом, δadc = δа1d1c1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда ∠с = ∠с1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках) в δabcи δа1в1с1: ас = а1с1, ∠а = ∠а1 (по условию) ∠с = ∠с1. таким образом, δabc = δа1в1с1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Уравнение касательной в точке (x1, y1) к эллипсу (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1; x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1; Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение. Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1; x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1; Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2; если переписать уравнения эллипсов так a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1; c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1; и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2; то получается просто линейная система 2х2; a^2*u + b^2*v = 1; c^2*u + b^2*v = 1; У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1; Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки. a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9; 6*u + v = 1; 4*u + 9*v = 1; u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5; +-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб). Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.
x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1;
Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение.
Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1;
x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1;
Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2;
если переписать уравнения эллипсов так
a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1;
c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1;
и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2;
то получается просто линейная система 2х2;
a^2*u + b^2*v = 1;
c^2*u + b^2*v = 1;
У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1;
Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки.
a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9;
6*u + v = 1;
4*u + 9*v = 1;
u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5;
+-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб).
Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.