Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (BC || AD) перетинаються в точці М. Відомо, що кут CMD = куту BAD. Доведіть, що BC = AB.

Задача 1

Решение(согласно моему рисунку)

1) Проведем высоту ВН.

2) Рассмотрим четырехугольник АВНД

Он будет параллелограммом, т.к. АВ || СД (как основания), а АД || ВН (т.к. высоты к одной стороне)

Тогда, т.к. АВНД - параллелограмм, АВ=ДН=6 см., АД=ВН (по св-ву параллелограмма)

3) Рассмотрим прямоугольный треугольника ВНС

НС=10 - 6=4 см.

Угол С=60° (по условию)

Тогда угол НВС=90° - 60°=30°.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Гипотенуза ВС=8 см. (это и будет большая боковая сторона)

ВС²=ВН² + НС² (теорема Пифагора)

ВН²=64 - 16

ВН²=48

ВН=4√3

4) ВН=АД=4√3, тогда АД=4√3 (это и будет меньшая боковая сторона)

ответ: АД=4√3 см., ВС=8 см.

 

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим один из треугольников, образованного пересечением диагоналей.
Он прямоугольный и его катеты равны √3  и 1.
По теореме Пифагора:

Значит,  ⇒ ∠BAC = 30°, т.к. напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
∠BAD = 2 · 30° = 60°, т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
∠ABO = 90° - 30° = 60°
∠ABC = 2 · 60° = 120°
∠ABC = ADC = 120° и ∠BAD = ∠BCD = 60° - как противоположные углы
ответ: 60°, 120°, 60°, 120.°.