дам №1 ABC – равнобедренный треугольник, AC=12, AB=BC=10. Точка M лежит на отрезке AC и AM:MC=1:2; точка N лежит на отрезке BC и BN:NC=3:1. .
а) Найдите в каком отношении точка K делит отрезок AN (AK:KN=?);
б) Найдите расстояние от точки K до прямой BC.
№2: ABC – равносторонний треугольник, точка N лежит на отрезке BC и BN:NC=2:1. Точка M лежит на отрезке AC и AM:MC=1:3. . Расстояние от точки K до прямой BC равно 1.
а) Найдите в каком отношении точка K делит отрезок AN (AK:KN=?);
б) Найдите площадь треугольника ABC.
№3: В треугольнике ABC точка К лежит на стороне BC и делит эту сторону в отношении BК:КC=2:5; точка М лежит на стороне AB и делит эту сторону в отношении AМ:МB=1:3. Отрезки AК и CМ пересекаются в точке N. Площадь четырёхугольника ABC равна 11 〖см〗^2. Найдите площадь треугольника
№4: В треугольнике ABC точка F лежит на стороне BC и делит эту сторону в отношении BF:FC=3:5; точка G лежит на стороне AB и делит эту сторону в отношении AG:GB=1:2. Отрезки AF и CG пересекаются в точке H. Площадь четырёхугольника BFHG равна 23 〖см〗^2. Найдите площадь треугольника ABC.
---
O₁O₂ ⊥ AB. ΔO₁A O₂ (также ΔO₁BO₂) равносторонние со стороной r.
AB= 2*(r√3)/2)⇒r =(AB√3)/3 .
Пусть AB и CD взаимно перпендикулярные хорды (AB ⊥ CD) , P_точка пересечения этих хорд ( P=[AB] ⋂[CD] ) b AP= DP =10 ; BP =CP =16 см.
R - ?
Например , из ΔACD: AC/sin∠ADC =2R ⇒R =AC/2sin∠ADC.
ΔAPC =ΔBPD (по катетам ) ⇒AC =DB =√(10² +16²) =2√(5² +8²) =2√89 (см).
ΔAPD равнобедренный прямоугольный треугольник
⇒∠ADP || ∠ADC|| =∠DAP=45° .
Следовательно :
R =AC/2sin∠ADC =AC/2sin45° =(2√89)/(2*1/√2) =√178 (см).
Рассмотрим одну из вершин трапеции и отрезки сторон, соединяющие эту вершину с точками, в которых окружность касается сторон.
Эти отрезки равны между собой как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Такое рассуждение можно провести для всех 4-х вершин.
Таким образом, наша трапеция "собрана" из отрезков 4-х видов (длин) , каждый повторяется по 2 раза. Назовём эти длины А, В, С и D.
Периметр трапеции - это 2(А+В+С+D)=12.
Далее, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Основания также складываются из наших 4-х отрезков. Сумма оснований будет (А+В+С+D)=12/2=6.
Полусумма - (А+В+С+D)/2=6/2=3.