ДАМ МНОГО ОЧКОВ !​
10 класс, Тема "Сечения"

Треугольник АВС-прямоугольный,  угол С =90º, угол А равен 30º.  АС=а, DС перпендикулярно плоскости АВС. DС=а√3)/2. Чему равен угол между плоскостями АDВ и АСВ? 
-----
 Искомый угол - двугранный.  
Чтобы найти величину двугранного угла или  угла между плоскостями, нужно построить  линейный угол и найти величину этого  линейного угла.  
Линейный угол двугранного угла - угол,  образованный двумя лучами на образующих его плоскостях, проведенными перпендикулярно  к одной точке на линии пересечения этих  плоскостей, т.е ребру двугранного угла.   
Проведем высоту СН в ∆ АВС.    
СН - проекция DН на АВС и по т. о треух  перпендикулярах  DH перпендикулярна АВ  
 Угол DHC - искомый.   
В треугольнике АСН катет СН противолежит углу А и равен половине  его гипотенузы АС как катет противолежащий  углу 30º. 
СН=а/2.tg ∠DHC=DC/CH=[(a√3)/2]:(a/2)=√3- это тангенс 60º

Рассмотрим треугольник АВС и СВМ. Угол В у них общий, угол С = углу СМВ (СМ-высота)=90, значит и третьи углы будут равны (сумма трех  углов = 180). Значит треугольники подобны по трем углам. Раз они подобны, то можем написать соотношение сторон:
СВ/АВ=МВ/СВ=СМ/АС из этого равенства берем только первое
СВ/АВ=МВ/СВ, СВ*2=АВ×МВ, так как АВ=АМ+МВ=10, то СВ*2=10×8
СВ=√80=4√5, зная АВ, можем найти АС по т. Пифагора
АС*2=АВ*2-СВ*2=100-80=20, АС=√20=2√5
теперь находим sinA=АС/АВ=2√5/10=√5/5=1/√5
cosA=СВ/АВ=4√5/10=2√5/5=2/√5
TgА=АС/СВ=2√5/4√5=1/2