Дан цилиндр. сечение параллельно осевому. угол, который образует точки пересечения сечения и центр основания равен 120°. расстояние до сечения равно высоте цилиндра. высота цилиндра равна 4. найти площадь сечения.

Проведем высоту ВН. ΔАВН - прямоугольный, ∠А=60°, тогда ∠АВН=30°, а АН=1\2 АВ=3.

Из ΔАВН найдем ВН

ВН=√(АВ²-АН²)=√(36-9)=√27.

Если основание АД=10, то ВС=10:5=2.

Проведем высоту СК=ВН=√27.

НК=ВС=2.   АК=АН+КН=3+2=5;  КД=АД=АК=10-5=5.

Найдем АС из ΔАСК.  АС²=АК²+СК²=25+27=52.  АС=√52=2√13.

Найдем ВД из ΔВДН, где ДН=КН+КД=2+5=7.  ВД²=ВН²+ДН²=27+49=76. ВД=√76=2√19.

Найдем ∠СОД по формуле площади трапеции

S=1\2 d₁*d₂*sinα

найдем площадь по формуле S=1\2 (АД+ВС)*ВН=1\2 * (10+2) * √27 = 18√3.

18√3=1\2 * 2√13 * 2√19 * sin∠СОД

18√3=2√247 * sin∠СОД

sin∠СОД=15,6\15,7=0,9936

∠СОД=84°

ответ: 2√13 ед.; 2√19 ед; 84°

Соединяем точки А₁, С₁ и К, так как они попарно лежат в одной грани.

А₁С₁ = 10√2 как диагональ квадрата.

ΔА₁D₁K: по теореме Пифагора

              А₁К = √(A₁D₁² + D₁K²) = √(10² + 5²) = √125 = 5√5

ΔA₁D₁K = ΔC₁D₁K по двум катетам (A₁D₁ = C₁D₁ как ребра куба, D₁K - общий), значит А₁К = С₁К = 5√5

Рa₁c₁k = 10√2 + 5√5 + 5√5 = 10√2 + 10√5 = 10(√2 + √5).

КО - медиана и высота равнобедренного треугольника А₁С₁К.

По теореме Пифагора:

КО = √(А₁К² - А₁О²) = √(125 - (5√2)²) = √(125 - 50) = √75 = 5√3

Sa₁c₁k = 1/2 · A₁C₁ ·KO = 1/2 · 10√2 · 5√3 = 25√6