дан куб ABCDA1B1C1D1 и две плоскости α и β . плоскость α перпендикулярна прямой A1C1, а плоскость β параллельна прямой CD1. Определите наименьший возможный угол между плоскостями α и β
PΔ=36, треугольник правильный, значит сторона треугольника равна : 36:3=12. Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°. Вычислим диаметр окружности: d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3. Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а. По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)². 2a²=64·3, a²=32·3=16·2·3, a=√16·6=4√6. a=4√6.
36:3=12.
Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°.
Вычислим диаметр окружности:
d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3.
Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а.
По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)².
2a²=64·3,
a²=32·3=16·2·3,
a=√16·6=4√6.
a=4√6.
W, V - центры
Проведем WK⊥AE, VL⊥AE
BK=1, DL=1 (перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам)
AK=3, AL=6
Проведем WN⊥VL
Понятно, что W - середина AV, N - середина VL
WK=VN=NL=x
Rw =WB =√(WK^2+BK^2) =√(x^2+1)
Rv =VD =√(VL^2+DL^2) =√(4x^2+1)
WV =Rw+Rv (точка касания лежит на линии центров)
WV =√(VN^2+WN^2) => Rw+Rv =√(x^2+9)
√(x^2+1) + √(4x^2+1) = √(x^2+9)
x^2 +1 +4x^2 +1 +2√(x^2+1)√(4x^2+1) = x^2 +9
4(x^2+1)(4x^2+1) = (7-4x^2)^2 // при 7-4x^2 >=0 => x<=√7/2
16x^4 +16x^2 +4x^2 +4 = 49 -56x^2 +16x^4
76x^2 = 45 => x=√(45/76)
Rw =√(45/76 +1) =√(121/76) =11/2√19
Rv =√(4*45/76 +1) =√(256/76) =8/√19