Дан куб ABCDA1B1C1D1, K - середина DD1. Найдите угол между векторами AD1 и BK. Указания для решения задачи: поместить куб в прямоугольную систему координат, найти координаты нужных точек, длины векторов, затем с формулы найти угол между векторами.

Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми,  диагональю куба и диагональю основания куба, это расстояние между одной из двух прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
Построим плоскость, проходящую через прямую BD параллельно прямой АС1.
Возьмем точку К - середину отрезка СС1,  АС1 параллельна ОК ( т к ОК средняя линия в треугольнике АСС1).
По признаку параллельности прямой и плоскости АС1 параллельна плоскости BDK. Найдем расстояние между ними, оно рано расстоянию между параллельными прямыми АС1 и ОК.  Опустим перпендикуляр ОН на АС1 и найдем его длину с треугольника АОС1.

Двугранный угол  образован двумя плоскостями с общим ребром ( по линии их пересечения). Если провести в каждой плоскости к одной точке ребра двугранного угла перпендикулярные лучи, получим линейный угол двугранного угла, и его величина равна величине данного двугранного угла 

∠ АНС - искомый угол. 

Расстояние от точки А до ДЕ - длина  проведенного перпендикулярно  ДЕ  отрезка АН.  

АН - наклонная, СН - её проекция. По т. о 3-х перпендикулярах АН и СН перпендикулярны ДЕ. 

СН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного ∆ ДСЕ.

Медиана прямоугольного треугольника  равна половине гипотенузы. 

Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°

∆ СНД - равнобедренный, СН=СД•sin 45°. СН=12

По т.Пифагора АН=√(АС*+СН*)=√ (35*+12*)=37 см.

tg∠AHC=AC:CH=35/12=2,916

 Это тангенс угла 71,075°