Дан куб abcda1b1c1d1. точка k - середина ребра c1d1. а) докажите, что расстояние от вершины a1 до прямой bk равно ребру куба. б) найдите угол между плоскостями kba1 и add1.
В прямоугольном треугольнике АВС катеты АВ=3АС, высота АН делит гипотенузу ВС на отрезки ВН и НС (ВН=НС+8). По т.Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9АС²+АС²=10АС², ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2НС+8. Значит АС√10=2НС+8, откуда АС=(2НС+8)/√10. По формуле высота прямоугольного треугольника АН=АВ*АС/ВС=3АС²/АС√10=3АС/√10=3(2НС+8)/10=0,6НС+2,4 или АН²=ВН*НС=(НС+8)НС=НС²+8НС. Приравниваем (0,6НС+2,4)²=НС²+8НС; 0,36НС²+2,88НС+5,76=НС²+8НС; 0,64НС²+5,12НС-5,76=0; НС²+8НС-9=0. D=64+36=100, НС=(-8+10)/2=1. Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10, высота АН=0,6*1+2,4=3. Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15
По теореме о сумме углов треугольника имеем:
Угол А + угол В + угол С = 180 градусов;
44 градуса + угол В + 90 градусов = 180 градусов;
угол В = 180 градусов-44градуса-90градусов=46 градусов.
По теореме синусов имеем: АС/sinB=AB/sinC; 15/sin46 = AB/sin90 АВ=15*sin90/sin46=15*1/0.7193=приблизительно 20
По т.Пифагора ВС²=АВ²+АС²=9АС²+АС²=10АС²,
ВС=АС√10 или ВС=ВН+НС=2НС+8.
Значит АС√10=2НС+8, откуда АС=(2НС+8)/√10.
По формуле высота прямоугольного треугольника
АН=АВ*АС/ВС=3АС²/АС√10=3АС/√10=3(2НС+8)/10=0,6НС+2,4 или
АН²=ВН*НС=(НС+8)НС=НС²+8НС.
Приравниваем (0,6НС+2,4)²=НС²+8НС;
0,36НС²+2,88НС+5,76=НС²+8НС;
0,64НС²+5,12НС-5,76=0;
НС²+8НС-9=0.
D=64+36=100,
НС=(-8+10)/2=1.
Следовательно гипотенуза ВС=2*1+8=10,
высота АН=0,6*1+2,4=3.
Тогда площадь треугольника S=1/2*AH*BC=1/2*3*10=15