Дан квадрат со стороной 4корень2 см. Точка K равноудалена от вершин квадрата и находится от плоскости квадрата на расстоянии ОK = 6 см. Найти:
а) длину диагонали квадрата АС;

б) расстояние от точки K до одной из вершин квадрата;

в) угол между прямой KС и плоскостью квадрата.

Пусть ad = a1d1 — равные биссектрисы, ∠a = ∠a1, ac = a1c1 — равные стороны. в δаdс = δa1d1c1: ∠dac = ∠d1a1c1 (т.к. ∠dac половина угла ∠bac ∠dac = ∠bac : 2 = ∠b1a1c1 : 2 = ∠d1a1c1). ad = a1d1, ас = а1с1. (по условию: ad = a1d1 — равные биссектрисы, aс = a1c1 — равные прилежащие стороны). таким образом, δadc = δа1d1c1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда ∠с = ∠с1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках) в δabcи δа1в1с1: ас = а1с1, ∠а = ∠а1 (по условию) ∠с = ∠с1. таким образом, δabc = δа1в1с1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Из условия,что диагонали являются биссектрисами тупых углов, следует, что боковые стороны равны основанию - углы между диагональю и боковой стороной и нижним основанием равны.
Обозначим верхнее основание за х. Тогда из подобия треугольников нижнее основание и боковые стороны равны L = 13х / 3 (это следует из пропорции x / 3 = L / 13).
Если из вершины тупого угла опустить перпендикуляр на нижнее основание, то получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это боковая сторона трапеции, один катет - это высота Н, а второй
равен ((13х/3) - х) / 2 = 5х / 3.
По Пифагору 48² = (13х / 3)² - (5х/3)².
48² = 169х² / 9 - 25х² / 9 = 144х² / 9.
Отсюда х =√(48²*3² / 12²) = 12 см - это длина верхнего основания.
Остальные стороны равны 13*12 / 3 = 52 см.
Периметр трапеции равен 12 + 52*3 = 168 см.