Дaн кyб. пoстpoить oбщий перпeндикуляp к рeбpy аа1 и пpямой рм, лежaщeй в гpaни dcc1d1. р ∈ d1c1, m ∈ dc. необходимо сделать анализ, построение, доказательство и исследование.
Чертим пирамиду, диагонали основания (АС) и (ВС), высотупирамиды (SO). О-точка пересечения (АС) и (ВС) и центр квадрата АВСD. треугольник ASC равен треугольнику АВС по трем сторонам. Значит треугольник ASC прямоугольный равнобедренный. АС=sqrt(2), АО=ОС=OS=sqrt(2)/2.
Все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. Апофемы пирамиды равны высртами этих треугольников и равны sqrt(3)/2. Проведём сечение через вершину пирамиды S и середины рёбер AD (точка М) и ВС (точка N). Угол между АВ и плоскостью SAD равен углу между AB и SM, значит равекн углу между SM и NM или углу SMO.
Из треугольника SOM получаем : cos(SMO)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)/3
1. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания). Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО. Доказательство: Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной). ∠САО = ∠СВО = 90°, ОА = ОВ как радиусы, ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒ ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе. Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО. Доказано.
2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а. Доказать: а - касательная к окружности. Доказательство: Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности. Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
3. Соединяем данную точку А с центром окружности. Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА. Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В. Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА. Прямая а - касательная к окружности.
Чертим пирамиду, диагонали основания (АС) и (ВС), высотупирамиды (SO). О-точка пересечения (АС) и (ВС) и центр квадрата АВСD. треугольник ASC равен треугольнику АВС по трем сторонам. Значит треугольник ASC прямоугольный равнобедренный. АС=sqrt(2), АО=ОС=OS=sqrt(2)/2.
Все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. Апофемы пирамиды равны высртами этих треугольников и равны sqrt(3)/2. Проведём сечение через вершину пирамиды S и середины рёбер AD (точка М) и ВС (точка N). Угол между АВ и плоскостью SAD равен углу между AB и SM, значит равекн углу между SM и NM или углу SMO.
Из треугольника SOM получаем : cos(SMO)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)/3
Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания).
Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО.
Доказательство:
Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной).
∠САО = ∠СВО = 90°,
ОА = ОВ как радиусы,
ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒
ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе.
Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО.
Доказано.
2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.
Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.
Доказать: а - касательная к окружности.
Доказательство:
Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.
Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.
3. Соединяем данную точку А с центром окружности.
Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА.
Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В.
Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА.
Прямая а - касательная к окружности.