Дан произвольный четырёхугольник АВРС(никакие пары противоположных сторон не

параллельны).Точки Д и Е- середины отрезковАР и РВ.Точки M и N – середины отрезков

АС и ВС.Найдите периметр четырёхугольника MДЕN, если АВ+РС=40

Варианты: A) 40 B) 30 C) 20 D) 10

2)Дан произвольный четырёхугольник АВМТ (никакие пары противоположных сторон не

параллельны). Точки L и Н - середины отрезков АМ и МВ. Точки G и Y - середины

отрезков АТ и ВТ. Найдите периметр четырёхугольника LHYG, если АВ + МТ = 20

Варианты: A) 10 B) 20 C) 30 D) 40

3)В треугольнике АВС на стороне АВ отмечена точка Е так, что АЕ:ЕВ=4:3. В каком

отношении прямая, проходящая через точку А и середину отрезка СЕ делит сторону

ВС,считая от точки В.

Варианты: A) 7:2 B) 4:7 C) 7:4 D) 4:3

4)В треугольнике АВС на стороне ВС отмечена точка D так, что CD : DB = 1 : 2 В каком

отношении прямая, проходящая через точку В и середину отрезка AD делит сторону АС,

считая от точки А.

Варианты: A) 3:2 B) 2:3 C) 1:2 D) 2:4

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также биссектрисой и медианой.

BH - высота/биссектриса/медиана  

AC=4x, AB=3x

AH =AC/2 =2x

BH =√(AB^2 -AH^2) =√(9-4) x =√5 x (т Пифагора)

Центр вписанной окружности - пересечение биссектрис.

AI - биссектриса

По теореме о биссектрисе

BI/IH =AB/AH =3/2 => IH =2/5 BH =8 (см)

Центр описанной окружности - пересечение серединных перпендикуляров.

MO - серединный перпендикуляр к AB

AB/BH =3/√5 => AB =3/√5 BH =12√5

△OBM~△ABH (прямоугольные с общим углом)

OB/AB =BM/BH => OB/12√5 =6√5/20 => OB =18 (см)

Или

cosA =2/3

sinC =sinA =√(1 -cosA^2) =√5/3

AB =BH/sinA

AB/sinC =2R (т синусов) => R =BH/2sinA^2 =20/2 :(5/9) =18 (см)

25 см і 30 см

Объяснение:

Нехай ΔАВС - рівнобедрений, АВ = ВС, ∠ВАС < 60°. Бісектриса AD ділить висоту BЕ на відрізки BF = 27,5 см і FE = 16,5 см.

Знайти довжину відрізків BD та DC.

Розв'язання:

За властивістю бісектриси: АВ : АЕ = BF : FE = 27,5 : 16,5 = 5 : 3.

За теоремою Піфагора для ΔАВЕ:

AB² = AE² + BE²

(5x)² = (3x)² + (27,5 + 16,5)²

25х² = 9х² + 44²

16х² = 44²

(4х)² = 44²

4х = 44

х = 11

Отже, АВ = 5·11 = 55 см, АЕ = 3·11 = 33 см.

ВС = АВ = 55 см, АС = 2·АЕ = 33·2 = 66 см.

За властивістю бісектриси: ВD : DC = AB : AC = 55 : 66 = 5 : 6.

Нехай ВD = 5х, DC = 6х. Складемо рівняння:

BD + DC = BC

5х + 6х = 55

11х = 55

х = 5

ВD = 5·5 = 25 см

DC = 6·5 = 30 см