дан прямоугольник ABCD со сторонами7 см и 24 см и построены точки А1 иС1,симметричные точкам А и С относительно прямой ВD.Докажите что А А1 С С1-прямоугольник и найдите его диагональ А1 С1
Пусть АМ = СМ = а, тогда АС = 2а. Если угол В = 45гр, то поскольку ΔАВС прямоугольный, то второй уострый угол его угол А = 45гр. Тогда ΔАВС равнобедренный и ВС = АС = 2а. Поскольку АМ = СМ, а ЕМ перпендикулярно АС, то ЕМ параллельно ВС и ЕМ - средняя линия ΔАВС и ЕМ = 0,5ВС = а В ΔАСД угол Д прямой, АС - гипотенуза, а угол АСД = 60гр. Следовательно угол САД = 30гр. А катет СД, лежащий против угла в 30 гр., равен половине гипотенузы АС, т.е. СД = АС : 2 = а Таким образом ЕМ = а и СД = а, т.е. ЕМ = СД, что и требовалось доказать.
а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.
б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:
<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.
Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.
Sinα = a/а√3 = √3/3.
ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).
в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).
г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть
Если угол В = 45гр, то поскольку ΔАВС прямоугольный, то второй уострый угол его угол А = 45гр. Тогда ΔАВС равнобедренный и ВС = АС = 2а.
Поскольку АМ = СМ, а ЕМ перпендикулярно АС, то ЕМ параллельно ВС и ЕМ - средняя линия ΔАВС и ЕМ = 0,5ВС = а
В ΔАСД угол Д прямой, АС - гипотенуза, а угол АСД = 60гр. Следовательно угол САД = 30гр. А катет СД, лежащий против угла в 30 гр., равен половине гипотенузы АС, т.е. СД = АС : 2 = а
Таким образом ЕМ = а и СД = а, т.е. ЕМ = СД, что и требовалось доказать.
а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.
б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:
<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.
Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.
Sinα = a/а√3 = √3/3.
ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).
в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).
г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть
Sполн=а²(2+√2)+2*AD*BH=а²(2+√2)+4а² = а²(6+√2).