Судя по тому, что ∠АВС= 120°, параллелепипед не прямоугольный, а прямой. Это "две большие разницы".
Итак, высота параллелепипеда равна 9см, а в основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со стороной ВС = 5 см, диагональю АС=7см и углом АВС = 120°. По теореме косинусов попробуем найти сторону АВ.
Координаты точек А и В найдём из решения системы, первое уравнение которой - уравнение окружности с радиусом 4, а второе - уравнение касательной к окружности радиусом 1.
Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс. Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0). Так как прямая АВ образует с общей касательной к окружностям угол в 60°, то к оси Ох угол будет -30°. Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30°) = -√3. Можно определить параметры касательной в уравнении у = кх + в: Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/√3, в = -√3. Уравнение АВ: у = (-1/√3)х - √3. Уравнение окружности R = 4: (x + 4)² + y² = 16. Используем подстановку: (x + 4)² + ((-1/√3)x - √3)² = 16. x² + 8x + 16 + (x²/3) + 2x + 3 - 16 = 0. 4x² + 30x + 9 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√756-30)/(2*4)=(6√21-30)/8=(3√21-15)/4 ≈ -0.313068 (это точка В);x₂=(-√756-30)/(2*4)=(-6√21-30)/8=(-3√21-15)/4 = ≈ -7.186932 (точка А). Определяем координаты точек по оси Оу: у₁ = (-1/√3)((3√21-15)/4) - √3 = (√3 - 3√7)4 ≈ -1,5513. у₂ = (-1/√3)((-3√21-15)/4) - √3 = (√3 +3√7)4 ≈ 2,417326. По координатам находим длину хорды АВ: Точка А Точка В Ха Уа Хв Ув -7,186932 2,417326 -0,313068 -1,551301 АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 7,937253933.
1)ответ:
V = 5√3/6 ед³.
Sбок = 144 ед².
Объяснение:
Судя по тому, что ∠АВС= 120°, параллелепипед не прямоугольный, а прямой. Это "две большие разницы".
Итак, высота параллелепипеда равна 9см, а в основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со стороной ВС = 5 см, диагональю АС=7см и углом АВС = 120°. По теореме косинусов попробуем найти сторону АВ.
АС² =АВ²+ВС² - 2·АВ·ВС·Cos120. Cos120 = -Cos60 = - 1/2.
49 = AB²+25 - 2·AB·5·(-1/2) =>
АВ²+5·АВ -24 =0 => AB = 3cм
So = AB·BC·Sin120 = 3·5·√3/2.
V = So·h = (3·5·√3/2)·9 = 5√3/6 ед³. (площадь основания, умноженная на высоту).
Sбок = Р·h = 2(3+5)·9 = 144 ед² ( периметр, умноженный на высоту)
2)Обозначим радиус основания конуса R, высоту Н.
По заданию угол, тангенс которого равен Н/R, равен 30 градусов.
Н/R = tg30° = √3/3.
Отсюда Н = R√3/3 см.
Площадь сечения S = (1/2)*2R*H =RH = R*(R√3/3) = R²√3/3 см².
Приравняем по заданию: R²√3/3 = 9√3 см².
R² = 9*3, а R = 3√3 см.
Высота Н = R√3/3 = (3√3)*(√3/3) = 3 см.
Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс.
Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0).
Так как прямая АВ образует с общей касательной к окружностям угол в 60°, то к оси Ох угол будет -30°.
Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30°) = -√3.
Можно определить параметры касательной в уравнении у = кх + в:
Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/√3, в = -√3.
Уравнение АВ: у = (-1/√3)х - √3.
Уравнение окружности R = 4: (x + 4)² + y² = 16.
Используем подстановку:
(x + 4)² + ((-1/√3)x - √3)² = 16.
x² + 8x + 16 + (x²/3) + 2x + 3 - 16 = 0.
4x² + 30x + 9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√756-30)/(2*4)=(6√21-30)/8=(3√21-15)/4 ≈ -0.313068 (это точка В);x₂=(-√756-30)/(2*4)=(-6√21-30)/8=(-3√21-15)/4 = ≈ -7.186932 (точка А).
Определяем координаты точек по оси Оу:
у₁ = (-1/√3)((3√21-15)/4) - √3 = (√3 - 3√7)4 ≈ -1,5513.
у₂ = (-1/√3)((-3√21-15)/4) - √3 = (√3 +3√7)4 ≈ 2,417326.
По координатам находим длину хорды АВ:
Точка А Точка В
Ха Уа Хв Ув
-7,186932 2,417326 -0,313068 -1,551301
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = 7,937253933.