Дан прямоугольный параллелепипед ABCDEFKL, где Z - середина FB, а на ребрах FE и FK, точки O и Q соответственно делят эти ребра в отношении 2:3, считая от вершины F, а на ребрах BA и BC отмечены точки P и T соответственно в отношении 4:1, считая от вершины B. Докажите, что плоскость, которой принадлежат точки Z, P, T, параллельна плоскости, содержащей точки D, O, Q.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Докажем PT||OQ

PT и OQ лежат в параллельных гранях.

Достаточно доказать, что они образуют равные углы с ребрами AB и EF.

FO/BP =FQ/BT =2/4 => △PBT~△OFQ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

∠BPT=∠FOQ => PT||OQ

OQ пересекает LK в точке X.

DX пересекает CK в точке Y.

Аналогично докажем PZ||DX

△OFQ~△XKQ => OF/XK =FQ/QK =2/3 => XK/EF =3/5

XL/PB =8/4 =LD/ZB => △XLD~△PBZ

∠BPZ=∠LXD=∠CDX => PZ||DX

PT||OX, PZ||DX => (ZPT)||(DOQ)