Это хорошая задача, и очень полезная. Сразу легко найти, что треугольник AKD имеет углы 72°, 72° и 36°, и точно такие же углы имеет треугольник KDC, то есть KD = CD = BK, AK = BC (ну конечно же, треугольник ABK равнобедренный, так как AK - биссектриса, и угол BKA = угол KAD = угол BAK). В результате получилось, что надо найти отношение боковой стороны к основанию в равнобедренном треугольнике с углами 72°, 72° и 36° (то есть в треугольнике AKD). Если теперь провести биссектрису угла ADK в этом треугольнике, и посмотреть углы треугольников, на которые она его разрежет, то получится, что оба эти треугольника тоже равнобедренные. То есть в таком треугольнике биссектриса угла при основании (72°) равна основанию и ОДНОВРЕМЕННО равна отрезку, который она отсекает на боковой стороне, считая от вершины угла 36°. Пусть AK = AD = b; KD = DM = AM = a; (DM - биссектриса угла ADK, М лежит на AK). Тогда по свойству биссектрисы (b - a)/a = a/b; или (b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; b/a как раз и надо найти :) если решить это квадратное уравнение и отбросить отрицательный корень, получится b/a = (1 + √5)/2;
Доказательство: Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c . Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости . Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b , c и х . Пусть точками пересечения будут В , С и Х . Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА 1 и АА 2. Треугольник А 1СА 2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению ( АА 1 =АА 2). по той же причине треугольник А 1 ВА 2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А 1ВС и А 2 ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А 1ВС и А 2ВС следует равенство углов А 1ВХ и А 2ВХ и, следовательно равенство треугольников А 1ВХ и А 2 ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А 1Х и А 2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А 1ХА 2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.
Сразу легко найти, что треугольник AKD имеет углы 72°, 72° и 36°, и точно такие же углы имеет треугольник KDC, то есть KD = CD = BK, AK = BC (ну конечно же, треугольник ABK равнобедренный, так как AK - биссектриса, и угол BKA = угол KAD = угол BAK).
В результате получилось, что надо найти отношение боковой стороны к основанию в равнобедренном треугольнике с углами 72°, 72° и 36° (то есть в треугольнике AKD).
Если теперь провести биссектрису угла ADK в этом треугольнике, и посмотреть углы треугольников, на которые она его разрежет, то получится, что оба эти треугольника тоже равнобедренные. То есть в таком треугольнике биссектриса угла при основании (72°) равна основанию и ОДНОВРЕМЕННО равна отрезку, который она отсекает на боковой стороне, считая от вершины угла 36°.
Пусть AK = AD = b; KD = DM = AM = a; (DM - биссектриса угла ADK, М лежит на AK). Тогда по свойству биссектрисы
(b - a)/a = a/b;
или (b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; b/a как раз и надо найти :)
если решить это квадратное уравнение и отбросить отрицательный корень, получится
b/a = (1 + √5)/2;
Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда
прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c . Докажем, что
прямая а перпендикулярна плоскости .
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и
покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости
произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую
прямые b , c и х . Пусть точками пересечения будут В , С и Х .
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА 1 и
АА 2. Треугольник А 1СА 2 равнобедренный, так как отрезок АС является
высотой по условию теоремы и медианой по построению ( АА 1 =АА 2). по
той же причине треугольник А 1 ВА 2 тоже равнобедренный. Следовательно,
треугольники А 1ВС и А 2 ВС равны по трем сторонам.
Из равенства треугольников А 1ВС и А 2ВС следует равенство углов А 1ВХ и
А 2ВХ и, следовательно равенство треугольников А 1ВХ и А 2 ВХ по двум
сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А 1Х и А 2Х этих
треугольников заключаем, что треугольник А 1ХА 2 равнобедренный.
Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что
прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна
плоскости . Теорема доказана.