Дан прямоугольный треугольник FKM с прямым углом F и гипотенузой, равной 28. Известно, что площадь треугольника равна 98. Найди острые углы этого треугольника. В ответе перечисли величины углов по возрастанию через точку с запятой без пробелов. Например: 14; 26.

№1. Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна а, а диагональное сечение - равносторонний треугольник. Найти объем пирамиды.

Пирамида QABCD, QO -  высота,  АQC- диагональное сечение, АВ=а.

V=S•h:3

S=a²

h=AC√3/2  

AC=a:sin45°=a√2

h=a√6/2

V=a³√6/6

№2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема – 15 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.  

      Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, следовательно, QH⊥CD. По т. о 3-х перпендикулярах ОН⊥CD.  

По т.Пифагора ОН=9 ( можно обойтись без вычислений, т.к. ∆ QOH- египетский, где отношение катет:гипотенуза=4:5).

ОН - половина АD, ⇒АD=2OH=18 (см)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания.  

S=15•18•4:2=540 см².

————————

№3. Условие неполное.  

Объем  V  правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC), на высоту h (OS)

Формула площади основания S=a²√3/2. Зная высоту, несложно вычислить объём данной пирамиды.  

———————

№4.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.  

S(бок)=3•MH•AB:2=3•8/3•8:2=32

————————

№5  

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найти площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.  

————————

№6.

Найти объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равносторонним треугольником.  

———————

Решения задач 4,5,6  даны в приложениях.

Объяснение:

Допустим, прямая не пересекает плоскость бета, а параллельна ей. Тогда все точки этой прямой должны находиться на равном удалении от плоскости бета (иначе один из концов пряой приблизится к плоскости бета и пересечет ее) . Одна точка, точка пересечения прямой с плоскостью альфа, находится на том же расстоянии от плоскости бета, что и плоскость альфа. Следовательно все остальные точки прямой находятся на таком же расстоянии, т. е. лежат в плоскости альфа, значит вся прямая долна лежать в плоскости альфа. Но по условию прямая не лежит в плоскости альфа, а пересекает ее. Таким образом она не может быть параллельна плоскости бета и пересечется с ней.

2Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b, а через точку А проведем прямые a1 и b1, соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a1 и b1. Плоскость β — искомая, так как она проходит через точку A и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.Докажем теперь, что β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости &alpha. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость β, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость a