Дан равносторонний треугольник ABC, в котором проведённые высоты AN, BK и CM пересекаются в точке O. Используя данный рисунок, определи значение чисел k, m, n и l.
1. Если AC−→−=k⋅CK−→−, то k=
.
2. Если OA−→−=m⋅ON−→−, то m=
.
3. Если MA−→−=n⋅BA−→−, то n=
.
4. Если OK−→−=l⋅OB−→−, то l=
.
Так как AC−→−=k⋅CK−→−, то длина AC равна длине CK, умноженной на k. То есть AC=k*a.
С другой стороны, сторона AC делится высотой CN на две части в отношении 2:1. Значит, CN = 2/3 * AC.
Так как треугольник ACK является прямоугольным, используем теорему Пифагора:
(AC^2) = (CK^2) + (AK^2).
Подставим значения AC и CK:
(a^2) = (k*a)^2 + (AK^2).
Упростим:
a^2 = k^2 * a^2 + AK^2.
Далее, выразим AK:
AK^2 = a^2 - k^2 * a^2.
Отсюда, AK = √(a^2 - k^2 * a^2).
Так как треугольник AKB также является равносторонним, сторона AK равна a. Подставим в предыдущее выражение:
a = √(a^2 - k^2 * a^2).
Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:
a^2 = a^2 - k^2 * a^2.
Упростим:
0 = -k^2 * a^2.
Отсюда получаем, что -k^2 = 0 или a = 0.
Так как a не может быть равно 0 (так как это длина стороны треугольника), то получаем, что -k^2 = 0.
Отсюда, k = 0.
Итак, значение k равно 0.
2. Рассмотрим треугольник AON. Обозначим длину стороны треугольника как a. Так как треугольник ABC равносторонний, то сторона AO равна a.
Так как OA−→−=m⋅ON−→−, то длина OA равна длине ON, умноженной на m. То есть OA=m*a.
С другой стороны, сторона OA делится высотой AN на две части в отношении 2:1. Значит, AN = 2/3 * OA.
Так как треугольник AON является прямоугольным, используем теорему Пифагора:
(OA^2) = (ON^2) + (AN^2).
Подставим значения OA и AN:
(a^2) = (m*a)^2 + (2/3 * OA)^2.
Упростим:
a^2 = m^2 * a^2 + (2/3 * OA)^2.
Далее, выразим OA:
(a^2) = m^2 * a^2 + (2/3 * m * a)^2.
Упростим:
a^2 = m^2 * a^2 + 4/9 * m^2 * a^2.
Перенесем все слагаемые с a^2 на одну сторону уравнения и вынесем общий множитель a^2:
0 = a^2 - m^2 * a^2 - 4/9 * m^2 * a^2.
Упростим:
0 = (1 - m^2 - 4/9 * m^2) * a^2.
Дальше, упростим выражение в скобках:
1 - m^2 - 4/9 * m^2 = (9/9 - 9/9 * m^2 - 4/9 * m^2)
= (9 - 13/9 * m^2) / 9
= (9 * 9 - 13 * m^2) / 9
= (81 - 13 * m^2) / 9.
Теперь, уравнение принимает вид:
0 = (81 - 13 * m^2) / 9 * a^2.
Так как a не может быть равно 0 (так как это длина стороны треугольника), то получаем, что (81 - 13 * m^2) / 9 = 0.
Отсюда, 81 - 13 * m^2 = 0.
Приравняем к нулю:
13 * m^2 = 81.
m^2 = 81 / 13 = 6,23 (округляем до 6,2).
Теперь найдем m, извлекая корень из m^2:
m = √6,2 = 2,49 (округляем до 2,5).
Итак, значение m равно 2,5.
3. Рассмотрим треугольник AMB. Обозначим длину стороны треугольника как a.
Так как MA−→−=n⋅BA−→−, то длина MA равна длине BA, умноженной на n. То есть MA=n*a.
С другой стороны, сторона MA делится высотой CM на две части в отношении 2:1. Значит, CM = 2/3 * MA.
Так как треугольник AMB является прямоугольным, используем теорему Пифагора:
(MA^2) = (BA^2) + (MB^2).
Подставим значения MA и BA:
(n*a)^2 = a^2 + (MB^2).
Упростим:
n^2 * a^2 = a^2 + (MB^2).
Далее, выразим MB:
MB^2 = n^2 * a^2 - a^2.
Отсюда, MB = √(n^2 * a^2 - a^2).
Так как треугольник MCB также является равносторонним, сторона MB равна a. Подставим в предыдущее выражение:
a = √(n^2 * a^2 - a^2).
Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:
a^2 = n^2 * a^2 - a^2.
Упростим:
0 = n^2 * a^2 - 2 * a^2.
Перенесем все слагаемые с a^2 на одну сторону уравнения и вынесем общий множитель a^2:
0 = (n^2 - 2) * a^2.
Так как a не может быть равно 0 (так как это длина стороны треугольника), то получаем, что (n^2 - 2) = 0.
Отсюда, n^2 - 2 = 0.
Приравняем к нулю:
n^2 = 2.
n = √2.
Итак, значение n равно √2.
4. Рассмотрим треугольник BOC. Обозначим длину стороны треугольника как a.
Так как OK−→−=l⋅OB−→−, то длина OK равна длине OB, умноженной на l. То есть OK=l*a.
С другой стороны, сторона OK делится высотой CK на две части в отношении 2:1. Значит, CK = 2/3 * OK.
Так как треугольник BOC является прямоугольным, используем теорему Пифагора:
(CK^2) = (OB^2) + (OB^2).
Подставим значения CK и OB:
(2/3 * OK)^2 = (OB^2) + (OB^2).
Упростим:
4/9 * OK^2 = 2 * OB^2.
Далее, выразим OB:
OB^2 = 4/9 * OK^2 / 2.
Упростим:
OB^2 = 2/9 * OK^2.
Так как треугольник BKA также является равносторонним, сторона OB равна a. Подставим в предыдущее выражение:
a^2 = 2/9 * OK^2.
Умножим обе части уравнения на 9/2:
9/2 * a^2 = OK^2.
Упростим:
9/2 * a^2 = l^2 * a^2.
Далее, выразим l:
l^2 * a^2 = 9/2 * a^2.
Упростим:
l^2 = 9/2.
l = √(9/2).
Итак, значение l равно √(9/2).